Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről
Az a n + b n = diofantoszi egyenletről 47 Ha A / 0, akkor |A| > exp( —270/J 4/Í(Q)/I(/?)(7,5 + log B) 2). Az első lemmában nagyon egyszerű kongruenciameggondolásokat használva szűrjük ki a megoldhatatlan egyenletek jelentős hányadát. Lemma 1. Legyenek a,b,n és z olyan pozitív egész számok, melyekre 6,n > 1, 3 {TI, a < b,a + b < 16 és (a, 6) = 1. Ha (a, b) ^ (2,11), (3, 8) és (3,10), akkor (1) nem teljesülhet. Bizonyítás. Az (1) egyenletet először modulo 9 vizsgáljuk. Felhasználjuk, hogy <£>(9) = 6 és modulo 9 a harmadik hatványmaradékok 0, valamint ±1. Mivel n > 1, ezért ha 3 | a akkor b n = ±1 (mod 9) következik. Felhasználva, hogy 3\n kapjuk a b = ±1 (mod 9) feltételt. Ezeknek és az a + ö < 16, (a, b) = 1 követelményeknek csak az (a, b) = (3,8) és (3,10) számpárok felelnek meg. Amikor a nem osztható 3-mal, akkor négy esetet kell megkülönböztetnünk attól függően, hogy n = 1, 2,4 vagy 5 (mod 6). Ha n = 1 (mod 6), akkor (l)-ből a n + b n = a + b = 0, ±1 (mod 9). Felhasználva az 0 < a + b < 16 és 1 < a < b egyenlőtlenségeket ebből következik, hogy a + b = 8,9 vagy 10, azaz csak a (2,7) és (4,5) párok teljesíthetik a feltételeket. Hasonlóan vizsgálható a másik három alternatíva is, amely után azt találjuk, hogy a fenti négy eseten kívül még a (2,11) és (5,8) párok is, de több nem, kielégítik a kongruenciafeltételeket. Tegyük fel most, hogy van olyan (n, x) 6 N 2, hogy (2) 2 n + 7 n=x 3. Ezt az egyenletet modulo 7 vizsgáljuk. Ha 3|n, akkor 2 n = 2 vagy 4 (mod 7). Másrészt z 3 = 0,1,6 (mod 7) teljesül minden x E Z-re, így a (2) egyenletnek nincs megoldása. A 4 n + 5 n = x 3 egyenletet modulo 31 vizsgálva azt találjuk, hogy a bal oldal 2,9 ületve 10-el kongruens modulo 31, amikor n = 0,1 ületve 2 (mod 3). Azonban 9 és 10 nem harmadik hatványmaradék, így 3 | n, ami az 1. Segédtétel szerint nem lehetséges. Végezetül, az 5 n + 8 n = x 3 egyenlőség teljesüléséből, azt modulo 7 vizsgálva, következik n = 1 (mod 6), ami miatt 5 n + 8 n = 4 (mod 9).
