Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)

M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről

48 Maurice Mignötte és Pethő Attila Mivel az x

3 = 4 (mod 9) kongruencia nem teljesülhet ez az egyenlet sem oldható meg. A bizonyítást befejeztük. A következő lépésben még mindig elemi kongruenciamegfontolásokkal szűrünk ki megoldhatatlan egyenleteket. Lemma 2. Az (a, b) = (3,8) és (3,10) párokra az (1) egyenlet nem oldható meg. Bizonyítás. Először az (3) fi(n) = 3

n + 8

n = x

3 egyenletet vizsgáljuk. Az 1. Segédtétel szerint elegendő azzal az esettel foglalkozni, amikor n nem osztható 3-mal. Ha (3) megoldható, akkor megoldható modulo 7 is. Ebből egyszerű számolással következik, hogy n = 5 (mod 6). Következésképpen n páratlan és így 11 | 3

n -f 8

n, ami miatt ll

2 = 121 I 3

n + 8

n. Legyen n — 6m + 5 és 3

5(3

6)

m + 8

5(8

6r = 11 x

m (mod 121), ahol 0 < x

m < 11. Az sorozat periodikus és periódushossza 11. A sorozat első 13 tagját az 1. táblázatban találja az olvasó. m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 0 7 9 2 8 6 9 4 9 7 5 0 7 1. táblázat A táblázatból látható, hogy 11 | x

m akkor és csakis akkor, ha m = 1 (mod 11). Ebből következik, hogy 121 | fi(n) pontosan akkor, ha n = 11 (mod 66). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha n = 11 (mod 66), akkor /i(n) = 3

1

1 + 8

1

1 = -2 (mod 67). Másrészt szintén egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy —2 nem lehet harmadik hatványmaradék modulo 67. Az utóbbi két tényből következik, hogy a (3) egyenletnek nincs megoldása. Vizsgáljuk most az (4) /

2(

n) = 3" + 10" = x

3