Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban

48 Liptai Kálmán egyenlet x,y megoldásai másodrendű lineáris rekurziónak tesznek eleget. Ebben a cikkben J. Binz [1] eredményeit általánosítjuk Thue egy tétele segítségével. Tétel. A 0(2^0,1,0,1) és az R(2v

0,1, 0,1) másodrendű rekuzív sorozatoknak, ahol UQ < vo pozitív egészek és UQ 1, véges sok közös tagja van. A tételünk bizonyításában szükségünk lesz az x

2 + Dy

2 = z

2, ahol D > 1, egy rögzített pozitív egész, diofantikus egyenlet primitív megoldásaira. Akkor mondjuk, hogy egy x,y,z pozitív egész számhármas primitív megoldás, ha (x,y,z) = 1, vagyis ha x,y,z relatív prímek. A következőkben egy p prímszám esetén p

k\ \ D azt jelenti, hogy p

k \ D, de p

k+

l\D. Négyzetmentes D esetén Nishi, Akiro [6] megadta az egyenlet megoldásainak explicit alakját. Az alábbiakban tetszőleges d-re általánosítjuk az eredményt. Lemma. Legyen D egy pozitív egész szám. írjuk fel D-t D = d

2 d\d

2 = = d

2D i alakban, ahol (di,d

2) = 1. Továbbá 8 | D\ esetén legyen = 4D[ = = 4d[d'

2. Az z

2 + Dy

2 = z

2 egyenlet primitív megoldásait a következő kifejezések szolgáltatják: ha 2 II Di vagy 4 II Di akkor x = d{d\U

2 — d

2v

2 ), (1), y = 2 uv z = d{d\U

2 + d

2v

2), ha 8 I Di, akkor (1) alakúak vagy x = d(d[u

2 — d'

2v

2), (2), y = uv z - d(d[u

2 + d'

2v

2), ha D i páratlan, akkor (1) alakúak vagy x — -d(diu

2 — d

2v

2), (3), y = uv z - -d(diu

2 + d

2v

2),