Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban

Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatokban 49 ahol d, di, d

2, d'

1

: d'

2 befutja a D felbontásában szereplő összes lehetséges értéket és u,v tetszőleges egészek, melyekre (u,v) = 1, (diu,d

2v) = 1, (d,u) = 1, (d,v) = 1 teljesül, továbbá (1) típusú megoldásoknál diu és d

2v különböző paritású, d páratlan; (2) típusú megoldásoknál u, v páratlanok, és (d'

1,d'

2) = l,{d'

1u,d'

2v) = l

] (3) típusú megoldásoknál u,v páratlan. BIZONYÍTÁS. Tekintsük az (4) z

2 + Dy

2 = z

2 egyenletet. Elegendő olyan megoldásokat keresnünk, melyekre (x,y,z) = 1. Ha ugyanis (x,y,z) = 1, akkor d^x, d$y, d^z is megoldás, ahol do pozitív egész. Ha pedig (x, y, z) = d' > 1 egy megoldás, akkor , J- , -jr is megoldás. További egyszerűsítést jelent, ha csak azokat a megoldásokat keressük meg, melyekre (x, z) = 1, ugyanis ha (z, z) = d és d ^ 1, akkor x és z alakja x = Xid és z = Zid, ahol (zi,Xi) = 1, így a (4) egyenlet (zid)

2 + Dy

2 = (dzi)

2 alakba írható. A megoldások primitívsége miatt Xid,y,zid relatív prímek, ezért d

2 | D vagyis D alakja D = d

2Di. így az egyenlet visszavezethető az (5) x

2 + D

l

V

2 =z

2 egyenletre, melynek {x,z) = 1 feltételt kielégítő megoldásait kell keresnünk. A fentiek miatt a továbbiakban az (5) egyenlettel foglalkozunk. Először azon megoldásokat keressük, melyekben y páros. Ekkor x, 2 nyüván páratlan és (5)-ből ]j (T\

2 - z + x z - x 1\2y ~ ~~2 2 következik, ahol ^^ és ^y^ relatív prímek, hiszen összegük és különbségük (azaz z és x) relatív prímek. így D

x\

z\

x z~

x-hö\ d

x\^ és d

2\^- következik, ahol d

xd

2 = Di és (di,d

2) = 1 és (5) alakja