Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

ZAY B.: A Fibonacci-szósorozatok egy általánosítása II

A Fibonacci-szósorozatok egy általánosítása II. 21 elemek szorzata, azaz ( — !)(—£ — l)*2, amit Fk-i(x) = x

k~

l — (a; + l)^2vel együtt (12)-be behelyettesítve adódik (11). Mivel minden i (1 < i < k)-re f{a

i) = a

k~a

k~

1- 1 = 0, és ebből következően F (an = (<*n

k - («r + = (-n

k - («n*1=o, ezért ßi = a

k 1 minden i (1 < i < k)-re gyöke Fk(x)-nek. Ha ßi = ßj egyenlőség teljesülne valamely 1 < i / j < k-ra, akkor ahonnan az 1 k — 1 „k — 1 ^ k i cxí — 1 = a

{ — aj — aj - l „k „k i = aj egyenlőség következne, amelynek mind a két oldalát a

k 1 = a

k 1-el elosztva Qj = ctj adódna, tehát ßi ^ ßj és ß\ — a

k~

l > |/?

t-|, minden i (1 < i < k)-re. A 2. Tétel bizonyításánál szükségünk lesz néhány lemmára. A következőkben előbb ezeket fogjuk megfogalmazni és igazolni. 1. Lemma. Minden n > j + 2 pozitív egész számra és tetszőleges v £ W(Xyre , haj = 0, (13) L

k.j(P

nt

l(v)) = l ^(LjtfitvVLilHn-^v))) , ha 1 < j < k. I *=o BIZONYÍTÁS. (5)-ből a h(w) = w\ speciális esetben H

n(v) = P

n,i(v) következik, minden n > l-re. Továbbá (1) alapján minden i,j( 1 < i,j < fejre (14) m/<(*)) = {!; < i < j < k - 1, ,<j<i - 1 vagy j = fc. A H és Lj(H) sorozatok definíciójából közvetlenül adódik ( Lj{h(v)) , harc = l,l<j<&, (15) L

á(H

n(v))= l ^L^f^LiiH^v)) , ha n > 1,1 < j < k.