Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
SZEPESSY B.: A magasabb rendű fixpontokról
A magasabb rendű fixpontokról SZEPESSY BÁLINT Abstract. (On the fix point of higher order) Let /(x) be a continuons real valued function on the interval [a, 6] which maps the interval onto itself. The functions /0(1) - x, h(x) = /(*), h(x) = /(/(x)),...,/ n(x) = /(/„_! (*)) are called the O 1^ 1, . . . , Tl t h iterated functions of the base function /(x). If /(c) = C, then the point C is said to be the fix point of first order of the function /(x). If fn(c) / C (n = l,2...,r_i) but / r(c) = C, then the point C is the fix point of order T of the function /(x). In this paper the following statement is proved: Let /(x) be a base function on the interral \(1, 6] and [c, rí] be a subinterval of [tt,6]. If there exist such two disjoint subintervals of [c, rí], which are maped onto the interval [c, rí] by the function /(x), then the function /(x) has a fix point of arbitrary high order. 1. Bevezetés Legyen /(x) az [a, b] (a < b) zárt intervaüumon értelmezett olyan egyértékű valós függvény, amely eleget tesz a következő feltételeknek: 1. /(x) az adott szakasz minden belső pontjában folytonos, a kezdő és a végpontban jobbról, illetve balról folytonos; 2. /(x) az [a, b] intervallumot önmagára képezi le; 3. nincs olyan részintervalluma az adott szakasznak, amelyben /(x) = = constans teljesül. Az /(x) függvényt iterációs alapfüggvénynek nevezzük az adott intervallumon. Az fo(x) = X, /1 (x) = f(x), / 2(x) = /(/(x)) , . . . , / n(x) = / ( fn — 1 (®)) függvényeket az /(x) függvény 0-dik, első, második, ..., n-edik (n-edrendű), ... iterált függvényeinek (iteráltjainak) nevezzük. Az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tételekből teljes indukcióval egyszerűen igazolható, hogy az f n{x) (n = 2,3...) függvények is mind rendelkeznek az 1., 2., 3. tulajdonságokkal. Teljesülnek az f n+ m(x) = f n{fm{x)) = fm{fn(x)) azonosságok.
