Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
SZEPESSY B.: A magasabb rendű fixpontokról
10 Szepessy Bálint Bármely [a., 6]) pontnak létezik az £ n +i = f(x n) képlettel alkotott xq, x\, X2,.. •, x n,... iterációs pontsorozata, és minden n-re x n G [a,b]. Az x n pontot az x 0 pont n-edrendű (n-edik) iteráltjának vagy rákövetkezőjének nevezzük. Az f(x) görbe grafikus képének alkalmazásával bármely x 0-pont Xi rákövetkezőjét úgy kapjuk meg, hogy az xq pontot az abszcisszatengelyre merőlegesen a görbére vetítjük, és a vetületen át párhuzamost húzunk az abszcisszatengellyel, ez a párhuzamos az y = x „átlót" az X\ abszcisszájú pontban metszi. Ha x' pont iterációs pontsorozatának xo eleme, akkor x' pontot az Xq pont inverz-iteráltjának vagy megelőzőjének nevezzük. Ha n a legkisebb természetes szám, amelyre f n{x') = Xq, akkor n-edrendű vagy n-edik inverziteráltról beszélünk. Az ilyen x' pontot így jelöljük: x' = £_ n. Valamely .To pont elsőrendű inverz-iteráltját grafikus eljárással úgy kapjuk, hogy az xq pontot az abszcisszatengelyre merőlegesen az átlóra vetítjük és a vetületen át párhuzamost húzunk az abszcisszatengellyel, a párhuzamos és az f(x) közös pontjai abszcisszájúak. Ha [c,d] (c<d) az [a, b] szakasz egy részszakasza, akkor pontjainak első iteráltjai is egy szakaszt alkotnak; jele: [c,d)i. (Nyilvánvaló ugyanis, hogy [c, d] 1 = [min f(x); max f(x)] ha c < x < d). A [c, d] szakasz n-edik iteráltján a [c,d] n = ([c,d] n_i)i intervallumot értjük. Ha f(c) = c, akkor a c pontot az f(x) függvény elsőrendű fixpontjának nevezzük. Ha / n(c) ^ c n = 1, 2,..., r — 1 esetén, de / r(c) = c, akkor c pont az f(x) függvény r-edrendű fixpontja. Az r-edrendű fixpontok az y = f r(x) görbe és az y — x átló metszéspontjainak vetületei az abszcisszatengelyen. Felmerül a kérdés, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén vannak tetszőlegesen magas rendszámú fixpontok. Tien-Yien Li és James Yorké bebizonyította a következő tételt: Legyen f(x) az [a, b] szakaszon értelmezett iterációs alapfüggvény. Ha van az [a, b] szakaszban olyan e pont, amelyre e^ < e < e\ < (vagy e 3 > e > ei >63) relcációk teljesülnek, akkor az f(x) függvénynek van bármilyen magasrendű fixpontja (ahol ei, 62,63 az e pont első, második és harmadik iterált pontja). A tételben szereplő e pont létezésének az eldöntése sokszor nem könnyű feladat, ezért — de elméleti szempontból is — érdeklődésre tarthat számot a következő tétel.
