Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Pham Van Chung: Egy klasszikus probléma általánosítása. II

(i) összes megoldása u

9{v

) (mod m) alakú, ahol uv-m és (w,v) = 1; (ii) I

s inkongruens megoldása van; (iii) az inkongruens megoldások összege 2

J~

1-gyel kongruens mod m. Bizonyítás: A 2. Tétel miatt elegendő csak az x

2 = x (mod m) kongruenciát megoldani. A továbbiakban u és v mindig olyan számokat jelentsen, amelyekre u-v = m és (w,v) = l. (i) Könnyű belátni, hogy x = u*

v

) (mod uv) megoldása az x

2 = x (mod m) kongruenciának. Még azt kell igazolni, hogy minden megoldás u*

v

) alakban írható (mod m). Valóban ha x

0 kielégíti az x

2 = x (mod m) kongruenciát, akkor u = (x

0,m) jelöléssel vannak y

0 és v egészek, amelyekre x = uy

0 és m = u-v, ahol (y

0,v) = 1. Ezeket az x

2 = x (mod m) kongruenciába behelyettesítve az (uy

0)

2=uy

0 (mod u*v) kongruenciához jutunk, amiből (y

0,v) = 1 miatt uy

0 = 1 (mod v). Innen (w,v) = 1, továbbá y

0 = u^'

1 (mod v). Tehát x

0 = u

vly

) (mod uv) alakú, amit kívántunk. (ii) A bizonyítás a [10]-ben lévő 4. Tételhez hasonló, (iii) A tétel (i) állítása alapján m=uv, (w,v)= 1 felírással, ha x

l = M*

v

) (mod m) egy megoldás, akkor JK

2 = v

9{u

) (mod m) egy másik megoldás. Mivel (w,v) = 1, így if^+v*

0 = 1 (mod uv). 58