Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Pham Van Chung: Egy klasszikus probléma általánosítása. II

alakra, ahol (x

xd)*

t~

v> = 1 (mod m

x) (6)-ot a (7)-be helyettesítve 1 = (x

xd)

v{

n~

X

) = (x.dy^

1 s [(x^^J-x

xd ® x

xd (mod m), mert (AC

1^,m

1) = l miatt (p{m) = (p{m

xd) = <p(d)-<p(m

x), amiből (V)

9*"

0 = 1 (mod wij). Tehát = 1 (mod m^. Ezt </-vel végigszorozva, azután mind a két oldalt jq-gyel szorozva és x

xd helyére x

0-t visszaírva xl = x

0 (mod m) adódik, amivel a tétel első részét bebizonyítottuk. Viszont, ha x

0 megoldása az (5)-nek, akkor ez kielégíti a (4)-et is. Ugyanis x\ = x

0 (mod m) miatt n > 2 esetén jCg = Xq 2 • x] = x""

2x

0 = =••• = jc

0 (mod m). Megjegyzés: 1. Tetszőleges a-ra az (n - l,(p(m)) = 1 feltétel teljesülése esetén nem mindig ekvivalensek az x

n = ax (mod m) és x

2 = ax (mod m) kongruenciák. Például a- 3, n- 4 és w=10 esetén x

4 = 3x (mod 10) és x

2 = 3x (mod 10) nem ekvivalensek. Hiszen x = 8 (mod 10) megoldása a második kongruenciának, de nem elégíti ki az x

4 = 3x (mod 10) kongruenciát 2. Ebből a tételből következik, hogy az (ni- l,(p{m)) = 1 esetén minden x

2 = x (mod m) kongruenciára vonatkozó tétel érvényesül az x

n = x (mod m) kongruenciára is. Ezért igaz például a következő: 3. Tétel: Ha (n - 1, <p(m)) = 1 és m = P

x

k> • • • P/-, akkor az x

n = x (mod m) kongruenciának 57