Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Zay Béla: Egy rekurzív sorozatról

Gí

kt (n + l-t) = (n -1) teljesül, akkor (1) alapján G^(n + l) = * + l-Gg> + l-í) = n + \- G

{

kJ{n -t) = G

kJ

[(n) +1 adódik. Ha pedig G<> + l-r) = GF>-R) + l, akkor G,> + 1) = /Í + 1-G<> + 1-0 = =/i +1 - G

k

kj(n -1) = G

kj(n) +1 = = n-G%(n-t) = G

k

J(n). 4. Lemma: Minden n> 0 egész szám esetén (9) G

k

J(n-t) = t-G

k,(n). Bizonyítás: n = 0-ra nyilván igaz, hiszen G

K

T(0T) = 0=TG

K

](0) Tegyük fel, hogy minden 0 <m< n- re teljesük (9), azaz (9') G

k

4{m-t) - t-G

k

i(m). Mint ahogyan az 1. Lemma bizonyításában is láttuk: 0 <G[

j}(n)<n 0 = 1,2,...,/:) így m - G

k i(n)~re is teljesül a (9') egyenlőség, amit rendre j = k -\,k-2,...m 2, l-re alkalmazva: t'G^{n) = t.G

k

X{G?;\nj) = Gjt-G^(n)) = adódik, amiből pedig (1) miatt G

k

J((n +1 )-t) = (n + 1 ) t - G$((n + l)-f - /) = (n +1 ) t - G^(n-t) = = (n +1 )-t - t-G

k

ki(n) = t{n +1 - G<») = t-G

k

x(n +1) következik, s ezzel a lemmát igazoltuk. 34