Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Zay Béla: Egy rekurzív sorozatról

lim *

,1

V ' = a

k. «-><* ji De ha létezik lim ^ = a

k, akkor a definícióból adódó n->°0 n G

k,(

n

K

1 Gff(n-l) Cg^it-l) GS(n-l

) G

k,(n~l) n-l G

k

l(n -1) n-l n egyenlőségből következnek, hogy a

k az x

k + x -1 = 0 egyenlet pozitív valós gyöke. Numerikus számolással azonban igazolható, hogy például k - 3 esetén nincs a feltételeknek eleget tevő s

3 konstans. Ugyanis ekkor a

3 ~ 0,682328 és [(2 + l)-a

3] = 2 > 1 = G

3

1 (2)-bői s

3 < 1 következne, viszont [(18 + l)-a

3] - 12 < 13 = G

3i(18)-ból s

3 >1 adódna. 2. Az előzőekben említett határérték viszont létezik. [3]-ban Kiss Péterrel közösen bizonyítottuk, hogy r G

k

í (n) hm ——— = a

k, rl ahol a

k az x

k + x -1 = 0 egyenlet pozitív valós gyöke. 3. Könnyen bizonyítható, hogy a G

k

l(n) sorozatban legfeljebb két egyenlő szomszédos tag van, ilyen pár viszont végtelen sok. Az 1. Tétel bizonyítását 4 segédtétel segítségével végezzük el, s először ezeket bizonyítjuk. 30