Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Liptai Kálmán: Pell egyenletek megoldása lineáris rekurzív sorozatok segítségével

mivel (9) és (10) miatt Dy

Qy, - Vi = Dy

Q (y

0u

0 + x

0v

0) - x

0 (x

0u

0 + Dy

0v

0) = - -Uo(x

0

2-Dy

0

2) = -u

0N. Ezután megmutatjuk, hogy ha H

i nem esik a tételben szereplő intervallumok egyikébe sem, akkor G

i

X > 0 és IL^ > 0 teljesül. Nézzük meg mi a feltétele a G^ = lufi, - G

m > 0 egyenlőség fennállásának. Ez (9) alapján lufi, - G,u

0 - DH,v

0 = G

tu

0 - DHy

0 = ^N + DH

t\ - DKv

0 > 0 alakban is írható, mivel G

2 - DH

2 - N. Ezzel ekvivalens állítás, hogy [N + DH

2)U

2>D

2H\

2 azaz u

Q

2 - Dv

0

2 = 1 miatt DH

2 > -Nu

2 ami N > 0 esetben triviálisan teljesül, az N < 0 esetben pedig a /f-re tett feltétel miatt igaz. Hasonlóan (10) alapján H

i X = 2^ - H

i+

Í = IuqH, - H

tu

0 - G

tv

0 = - G,.v

0 = = u

0H

i-vjH

i

2D+ N> 0 teljesül, ha vagyis ha ^

2 > v

0

2A. Ez pedig igaz, ha JV<0, vagy ha N>0 és // > v

0-Jn. A következő lépésben belátjuk, hogy H

i X < H

i és G

i_

1 < G

x, ha JV < 0 és H

t > " v

a^y ha W > 0 és tf, > v

0 VÄ. Mivel (10) és (12) alapján = - H

i+

l = 2u,IL - H]u

Q - G

fv

0 = - G

fv

0, 22