Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Liptai Kálmán: Pell egyenletek megoldása lineáris rekurzív sorozatok segítségével

és = Ay

n - By n-i = 2w

0 y

n rekurziós összefüggésekből x

n_

l

yy

n_

x is meghatározható a (11) Bx

n_, =Ax

n-x

n+

í, azazx^ = 2u

0x

n-x

n+

1 és (12) By

N-R=Ay

n-y

N

+V azaz y

n_

x = 2u

0y

n - y

n+

1 egyenletek segítségével, azaz a sorozat /'-edik és (/'+ l)-edik elemének ismeretéből az (/'-l)-edik elem is meghatározható. Tekintsük a G(2M

0,1,G

0,G

1) és HÍIüqXHq^) másodrendű rekurzív sorozatokat, ahol G. = x

0, G

m =x

l

9 H

i = y

0, H

i+

l = y

x valamely i index esetén. Nyilvánvaló, hogy ezen G, illetve H sorozatok indexeléstől eltekintve azonosak az X, illetve Y sorozatokkal és a (G

i+

k,H

i+

k) {k = 0,1,2...) számpárok kielégítik a (2) egyenletet Megmutatjuk, hogy a (G^JI^) számpárok is kielégíti a (2) egyenlet, amiből következik, hogy a (G

i+

k,H

i+

k) (k - 0,-1,-2...) számpárok is megoldásai (2)-nek, melyek B - 1 miatt szintén egészek. A - DH^

2 = N egyenlőség, A = 2u

0, B= 1, valamint (10), (11) alapján adódó G

i_

l=2u

0x

o-x

l és H._

x = 2u

0y

o - y

1 összefüggések felhasználásával adódik, ugyanis (2u

0x

0 - X

] Y - D{2u

0y

0 -y,)

2 = = 4u

2{x

2 - Dy 2) + X!

2 - Dy

2 + 4u

0(Dy

Qy

x - V

l) = = 4u

2N + N + 4W

0(Z)Y

0_Y

1 - ) = JV, 21