Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Tómács Tibor: A rekurzív sorozatok egy alkalmazásáról

c

r_

h + s _

R

2m

+,+R

2

m^

2+R

2

m _ 2 2 ^w+2 mert g > 0. Ekkor azonban «=r -h

2=y - )

2 - - +)= = = X

m (rn> 0). Ha A^ egész és r nem osztja N

m-et, akkor a 2. lemma miatt n nem triviális választás, és ezzel a tételt igazoltuk. 2. Tétel bizonyítása: A (2) egyenlet diszkriminánsa D

2=n

2 + 4(n + r){n + 2r) = (2(n + r)f +{n + 2rf . Racionális gyökök esetén, és csak akkor D

2 négyzetszám, D

2 - t

2, ahol t egy pozitív egész. Ezért \2{n +r),n + 2r,l] pitagoraszi számhármas. Reprezentáljuk [2gh,g

2-h

2 ,g

2+h

2} alakban. Ebből hasonlóan az előzőhöz, azt kapjuk, hogy " = = (m> 1) esetén ha T

m egész és r nem osztója T

m-nek, akkor a (2) egyenletnek racionálisak a gyökei és n nem triviális választás. Megjegyzés: Ha az 1. tétel bizonyításában 2gh, g

2 - h

2, g

2 + /?

2 ], illetve a 2. tétel bizonyításában g

2 -h

2,2gh, g

2 + h

2 ] reprezentációt tekintjük, nem kapunk újabb «-eket 3. Tétel bizonyítása: A (3) egyenlet diszkriminánsa D

3 = (« + r)

2 + 4n(n + 2r) = 5(w + r)

2 - 4r

2 . Racionális gyökök esetén, és csak akkor Z>

3 négyzetszám, D^ = t

2, ahol t egy pozitív egész és 11