Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Tómács Tibor: A rekurzív sorozatok egy alkalmazásáról

(9) t

2-5{n + r)

2 =-4r

2 . A tétel feltételei és (6) miatt (G

2m+

1)

2-5(^

ra+

1)

2=-4r

2 (m> o) . Ezért fi = R,

m+

l-r esetén, ha r nem osztója i^^-nek, (3) gyökei racionálisak és n nem triviális választás. Megjegyzés: A 3. tétel feltételei nem minden r > 1 egész esetén teljesíthetők. Például r - 2 esetén (9) miatt í

2 -5(n + 2)

2 = -16. Ez csak páros n esetén állhat fenn, így racionális gyökök esetén n csak triviális választás lehet Ennek következménye, hogy x

2 - Sy

2 = -16 . összes egész megoldása {x,y) = {±2L

lm+

],±2F

2m

+X illetve x

2 — 5y

2 = 16 összes egész megoldása {x,y) = {±2L

2

m,±Fj ahol F

k, illetve L

k a ^-adik Fibonacci, illetve Lucas szám és m> 0 egész. Másrészt ha r = 11, akkor R^ =3 és R

x =13, vagy Rq= 7, és R

x = 17 esetén teljesülnek a tétel feltételei. Megjegyzés: A cikk leadása után (Fifth International Conference on Fibonacci Numbers and Their Applications, St Andrews, 1992. július 22—24, konferencián elhangzott előadás nyomán) tudomásunkra jutott, hogy C. Long, G. L. 12