Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Sashalminé Kelemen Éva: A főiskolai geometria anyag egy lehetséges megalapozása. I. rész

- 97 1 . 1 KÖVETKEZMÉN

Y: Két metsző egyenesnek pontosan egy közös pontja van. Ha kettő lenne, a III ax. miatt a=b teljesülne, de az értelmezés alapján a*b. A közös pont a metszéspont. 1.2 KÖVETKEZMÉN

Y: Ha egy egyenes és sík metsző, akkor pontosan egy közös pontjuk van. Ha kettő lenne, a IV. ax. miatt az egyenes illeszkedne a síkra, a o a = M — M a metszésponl . 1.1 TÉTE

L: Ha e és f két metsző, vagy párhuzamos egyenes, akkor pontosan egy olyan sík létezik, amely e-t és T-t tartalmazza. BIZONYÍTÁ

S: Legyen e n f = M. Az I. ax. miatt létezik A«e és B^f, de A*M és B*M. Az V. ax. szerint egyetlen a. sík létezik, melyre A,M,B illeszkedik, s a IV. ax. alapján e és f illeszkedik a —ra. Tegyük fel, hogy létezik olyan ct' * a , mely szintén tartalmazza e és f —t. e c a', igy A « a' és M e a' . f a' , igy Bea'. Ezek alapján <A,B,M> <= ex' , ami az V. ax. szerint azt jelenti, hogy a = a'. Ha e II f, akkor a létezés az 1.2 értelmezéséből adódik, az egyértelműség az előzőhöz hasonlóan belátható. 1.2 TÉTE

L: Egy egyenes és rá nem illeszkedő pont esetén pontosan egy olyan sík létezik, amely az egyenest és a pontot tartalmazza. Bizonyítása hasonló a két metsző egyenesre vonatkozó állítás Cl.l tétel) bizonyításához. 1.3 KÖVETKEZMÉN

Y: Legyen a a tér tetszőleges egyenese, F pedig egy rá nem illeszkedő pont. Egy és csak egy olyan egyenes létezik, amely P-re illeszkedik és a-val párhuzamos.