Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)
Sashalminé Kelemen Éva: A főiskolai geometria anyag egy lehetséges megalapozása. I. rész
- 98 Az 1.2 tétel alapján P és a egyetlen síkot határoznak meg, abban pedig igaz a VI. axióma. 1.3 TÉTE L: Minden síknak végtelen sok egyenese, a térnek végtelen sok síkja van. BIZONYÍTÁ S: 1. A II. ax. alapján egy tetszőleges a síknak van két különböző egyenese, a és b. Az I. ax. szerint felvehető a-n egy A pont, s ez a b egyenes végtelen sok pontjával végtelen sok a —beli CIV. ax.) egyenest határoz meg. Igy a sík egy pontjára végtelen sok síkbeli egyenes illeszkedik. 2. A térnek van két különböző síkja ß , y CII. ax. ) és felvehető A e ß Cl. ax.). A tétel első része alapján a y -nak végtelen sok egyenese van, az 1.2 tétel miatt az A—val együtt mindegyik meghatároz egy síkot, igy a tér A pontjára végtelen sok sík illeszkedik. 1.4 TÉTE L: Bármely sík egyeneseinek a halmazán az egyenesek egyállásúsága ekvivalenciareláció. BIZONYÍTÁ S: Az 1.3 értelmezés alapján ez a reláció reflexiv — a=a; szimmetrikus — ha a M b —• b II a , vagy ha a = b, akkor b = a. Igazolni kell, hogy ez a reláció tranzitív. Legyen a II b vagy a = b és b H c vagy b = c. Ekkor, ha az a,b,c egyenesek közül mindhárom, vagy bármely kettő egyenlő, az állítás nyilvánvaló. Ha az egyenesek páronként különbözőek, akkor a o c = 0. Ha ugyanis a és c metszenék egymást, akkor az a n c = A ponton keresztül b—vei két párhuzamos egyenes létezne, ami ellentmond a VI. ax.—nak. 1.4 KÖVETKEZMÉN Y: Két párhuzamos egyenes egyikét metsző egyenes metszi a másikat is. Ha létezik a n c = A, akkor létezik b rt c = B is, ellenkező esetben az A ponton át b-vel párhuzamos lenne az a
