Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Phan Van Chung: Egy klasszikus probléma általánosítása

- 10 k=l,2,3,4,5 értékekhez tartozó megoldások 5,25,625,0625,90625. Könnyen belátható, hogy ha egy k jegyű megoldás,* akkor xw+i az xk alsó k+1 jegyéből képezett k+1 jegyű szám. A következőkben a kongruencia megoldásainak összegét vizsgáljuk. Bevezetjük az "alapmegoldás" fogalmát. Egy kongruencia azon megoldásait, amelyek pozitivak és a modulusnál nem nagyobb számok, alapmegoldásnak nevezzük. Például x

z = ax (mod m> ilyen megoldásai x=a és x=m , ahol 0 < a < m. Ezután bebizonyítjuk a következő tételt, amely megkönnyíti a kongruenciáink numerikus megoldását. 6. TÉTEL. Ha az x

2 s ax Cmod m

k) kongruencia egy , L. , . megoldasa, akkor x

? = m "+a-x

t is megoldás. BIZONYÍTÁS: Valóban, ha x

2 = ax

f Cmod m

V), akkor -- |m

k +a-x 1 j = ^a-x^ = aCa-x

t >+x*-ax t = = a ^rn^+a—x

tj = ax

? Cmod m

k) ami a tételt bizonyítja. Megjegyezzük, hogy e tétel speciális esetét már többen bizonyították a=l és m=10 esetében először M. Tedénat töl . A 6. Tételben szereplő megoldáspárok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek az Ca,m) = 1 esetben. a/ x j. x

2 legnagyobb közös osztója relativ prim a modulushoz. Ez abból következik, hogy (

xi» xa'J

= (

xi» m

k+a-x

ij= = ^x

i,m

k+aj és Cm, a) = 1, ezért ^x^ X2 j * mJ = —' b/ x

1*

x

2 s 0 Cmod m

k>. Ez pedig abból következik, hogy