Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához. VI,

- 33 dolgozatok szemléletes példái és a következő tétel: 2. Legyen a ^ c < d < b és fCx) az [a;bl szakaszban értelmezett olyan iterációs alapfüggvény, amelyre f(c)=c fCd)=b, továbbá van a td;bl szakasznak olyan tp;qJ részszakasza, amelyet fCx) az Ca;bl szakaszra képez le. Ekkor bármely (természetes) n szám esetén van az f(x) függvénynek n-edrendű fixpontja. A tétel bizonyításából kiderül, hogy a<c vagy q<b esetén a tétel érvényessége nem függ az f(x) függvény ía;cl vagy tq;bl szakaszbeli menetétől. Ugyancsak nem befolyásolja a tétel érvényességét d<p esetén fCx) függvény Cd; pl szakaszbeli viselkedése sem. A bizonyítás során kihasználatlanul maradt az alapfüggvénynek az említett szakaszokban való folytonossága is. Ebben a dolgozatban ezeknek a tételeknek a segítségével és bizonyításaik sajátos, elemi módszerével igazoljuk az alábbi — tételeinknél álktalánosabb - tételt, amelyet Tien-Yien Li és James A.Yorké (alapvetően más bizonyítással) publikált CC7Í). 2. MÉG EGYSZER A TETSZŐLEGES MAGASRENDŰ CIKLUSOKRÓL TÉTEL. Legyen fCx) az íajbl zárt intervallumban értelmezett iterációs alapfüggvény. Ha van az [a;bl szakaszban olyan e pont, amelyre e

3 ^ e < e

t < e

2 • Cvagy e £ e > e >e) relációk teljesülnek; akkor van bármilyen 3 12 n-edrendű ciklus is. CAhoI e

(,e

2 és e^ az e pont első, második és harmadik iterált pontja). BIZONYÍTÁS: Elegendő a bizonyítást az e

g = e < < e

2 esetre elvégezni; más esetekben - az analóg (e

3 2r e > e

t esetben is - a bizonyítás ehhez hasonlóan történik.