Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához. VI,

- 34 Legyen u=max<x>; fCx)=e

2; azaz u a legnagyobb xete

4 ;e

23 abszcisszaériék, amelyben fCu)=e teljesül•és v=min{x>,f(x)=ej xelu; 3 azaz v az u—tói jobbra a hozzá legközelebb eső olyan pont, amelyben fCv)=e. Ilyen u és v pont az adott szakaszban létezik, ugyanis - a Teltételek szerint — fCe )=e„,és f(e )=e 12 2 Az l.,2.,3 következtében fCx) függvény az [u;v3 szakaszban folytonos és ezt a szakaszt az tejeli szakaszra képezi le. Mivel az fCx)-x (folytonos) függvény az u és v pontban különböző előjelű — f(u)-u=e

2 —u>0 és fCv)—v=e-v<0 —, ezért van az [u;v3 szakaszban zérushelye; azaz fCx) függvénynek elsőrendű fixpontja. Innen a bizonyítás kétfelé ágazik. a/ Az £e;ul szakaszban van legalább egy elsőrendű fixpont. Legyen c=max<x>; fCx)=c Cl.ábra). Az fCx) függvény x€[e;U] folytonossága következtében a tc;u1 szakaszban van legalább egy olyan pont, amelyben a függvény az e

2 értéket veszi fel; az u például ilyen pont, ugyanis fCu)=e

2 teljesül. Legyen ezek közül a c—hez legközelebbi az r pont; azaz r=min<x>, xe[c;u] fCx)=e

2. Az fCx) függvény a Cc,rl szakaszt a [c;e

2 3 szakaszra, az tu*v3 szakaszt - tr;e

2J részszakaszát - pedig az egész te;e

2J szakaszra képezi le. A bevezetésben is szereplő második tétel szerint az te;e

2J szakaszban Csőt annak tc;r3 részszakaszában), bármely (természetes) n szám esetén van n-edrendű ciklus. Ebben az esetben a bizonyítást befejeztük.