Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához. VI,

- 32 Az f(x3 függvényt iterációs alapfüggvénynek nevezzük az adott intervallumon. Az f (x>=x, f (x)=f(x), o ' 1 ' f

2Cx)=f(fCx)>,...,f^(x>=f(f

n,... függvényeket az fCxí függvény 0—dik, első, második, n-edik (n-edrendű),... iterált függvényeinek (iteráltjainak} nevezzük. Az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tételekből teljes indukcióval egyszerűen igazolható, hogy az f (x) n=2,3,... függvények is mind rendelkeznek az 1.,2.,3 tulajdonságokkal. Teljesülnek az f^^Cx) = f

n jf

mCx:>l = f ^f

n(x>J azonosságok. Ha Cc;dl Cc<d> az ta;bl szakasz egy részszakasza, akkor pontjainak első iteráltjai is egy szakaszt alkotnak: jele: [c,d]

&. (Nyilvánvaló ugyanis, hogy íc;dl

1=[min fCx); max f(x)1, ha cíx5d). A í c;d 1 szakasz n-edik iteráltján a le;dl

n=c;dí^I intervallumot értjük. Ha f(c)=c, akkor a c pontot az f(x) függvény elsőrendű fixpontjának nevezzük. Ha f (c)*c, n=l,2,...,i—1 esetén, de f

r(c)=c, akkor a c pont az f(x) függvény r-edrendű fixpontja. Ekkor — amint az ismeretes - a c , c c

r_

l

tc

p fixpontok egy i—edrendu ciklust alkotnak. Az n-edrendű fixpontok az y=f(x) görbe és az y=x átló metszéspontjainak vetületei az abszcisszatengelyen. Már vizsgáltuk azt a kérdést, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén nem lehet a ciklusok rendszámára felső korlátot adni (Szepessy 18J, [91>. Bebizonyítottuk hogy: 1. Ha az [a,bl szakaszban f(x> az i.,2.,3 feltételeknek eleget tesz és van két olyan diszjunkt részszakasz, amelyeket a függvény az egész zárt ta;bl szakaszra képez le, akkor van bármilyen magasrendű ciklus. Ennek a tételnek a feltét.elei csak elégségesek bármilyen adott rendű ciklus létezéséhez. Ezt igazolják az említett