Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Zay Béla: Nemlineáris rekurzióval definiált sorozatokról

- 23 1. TÉTEL. Legyen G az Cl)—ben megadott, sorozat, és legyen Y egy p—ed rendű lineáris rekurzív sorozat, melyet szintén az A . A . . . . , A konstansok, és az Y =G, , Y =G . ... ,Y =G 1 2 * p * 11*22* *pp kezdőelemek és az Y = A *Y +A * Y + . . . +A »Y (n>p) r» 1 n-1 2 n-2 p n-p lineáris rekurzió definiál. Jelöljük y ,y —vei az Y sorozat elemeit, ha Y =Y = . . . -Y =0 és Y =1. ' 12 p-1 p Ekkor n C 3) G = Y + 5 y * D n n n + p- i t i =p * 1 minden n>p esetén. 2. TÉTEL. Ha D egy r-ed rendű lineáris rekurzív sorozat, akkor a G elemei előál 1 i tha tók az í

G

Cx) = f

y

Cx:

>*í

D

C

x> karakterisztikus polinommal meghatározott p+r —ed rendű lineáris rekurzióval, a G., ..., G kezdőelemekből. * 1 ' p + r A 2. Tétel bizonyításából adódik a következő eredmény: KÖVETKEZMÉNY: Ha valamely p+r -ed rendű G lineáris rekurzív sorozat karakterisztikus polinomja f^Cx) = = f

1C'x)*f

2Cx) alakú, ahol az f CxJ egy p-ed fokú, í

2

<x

) P^dig i—ed fokú valós együtthatós főpolinom, akkor G elemeire teljesül a P G = 5 A. *G + D , ha n>p+r n *» i n -1 r> 1=1 rekurzió is, ahol az A^ együtthatókat <1 ^ i ^ p) az P f

tCx) = x

p - 2 A 'x

pt egyenlőségből állapíthatjuk meg, a D pedig egy f Cx) = f (x) karakterisztikus polinommal rendelkező r—ed rendű lineáris rekurzív sorozat, melynek D D kezdőértékeit a p + 1 * p-'-r