Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Zay Béla: Nemlineáris rekurzióval definiált sorozatokról

- 22 polinom helyettesitési értékeinek sorozata. Cl)—ben bizonyította, hogy a sorozat tagjaira G = q *F +q * F -hCn), n 1 n 2 r» - 1 ahol F

l az i-edik Fibonacci szám, q

t, q

2 rögzített valós számok, hCx) pedig egy rögzített polinom. M. Bicknell-Johnson és G.E. Bergum [31 Asveld által vizsgált sorozathoz hasonló sorozattal foglalkoztak, de náluk D egy konstans sorozat. A következőkben a fentieknek egy közös általánosítását vizsgáljuk, és egyben javítjuk az előbb emiitett eredményeket. Mogniu ta t juk. hogy az Cl)— br»n definiált sorozat lineáris rekurzív sorozat, ha D egy konstans, polinom, vagy egy lineáris rekurzív sorozat. A továbbiakban szükségünk lesz a lineáris rekurzív sorozatokkal kapcsolatban néhány fogalomra. Legyen R = = -ÍR V egy k-adrendü lineáris rekurzív sorozat, melyet az ^ n = i Ai '

A2 konstansok, R

t,R

2,...,R

k kezdő elemek és az R = A • R +A * R + . . . +A. *R .+D Cn>k) n 1 n-i 2 n-2 k n - k n lineáris rekurzió definiál. Az R sorozat karakterisztikus polinomjának nevezzük az f

RCx) = x

k- A

t•x

k"

I-A

2-x

k"

2- ... -A

k polinomot. Legyenek f

R(x) különböző zérushelyei x ,x ,...,x

t, melyek multiplicitásai k

t,k

2,...,k

t. Ismert, hogy ekkor az R tagjai (2) R

n = P

4 Cn) • x^ + p

2Cn) • ... +p

tCn) • x[ alakban is felirhatók minden nÄl esetén, ahol P^Cx) egy k.-l -ed fokú polinom CLásd Pl. M.D'Ocagne 141). A következő tételeket fogjuk bizonyítani: