Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához III. (A tetszőleges magasrendű ciklusokról)

MEGJEGYZÉSEK A VALÓS FÜGGVÉNYEK 1TEHÁLÁSÁHOZ IH. (A TETSZŐLEGES MAGASRENDŰ CIKLUSOKRÓL) SZEPESSY BÁLINT 1. Bevezetés Legyen f(x) az [a, b] (a < b) zárt intervallumban értelmezett olyan egyértékű valós függvény, amely eleget tesz a következő feltételeknek. 1. f(x) az adott szakasz minden belső pontjában folytonos, a kezdő és a végpontban jobbról illetve balról folytonos; 2. f(x) az [a, b] intervallumot önmagára képezi le; 3. nincs olyan részintervalluma az adott szakasznak, amelyben f(x) = = constans teljesül. Az f(x) függvényt iterációs alapfüggvényének nevezzük az adott intervallumon. Az f

0(x) = X, f,(x) = f(x), f

2(xj = f(f(x)), . . ., f

n(x) = ÍUn-jíx)), . . . függvényeket az f(x) függvény 0-dik, első, második, . . ., n-edik (n-edrendű), . . . iterált függvényeinek (iteráltjáinak) nevezzük. Az f

n(x) (n = 2,3, . . .) függvények is mind rendelkeznek az 1., 2., 3, tulajdonságokkal*. Teljesülnek az f

n+

m(x) = f

n(f

m(x) ) = f

m(f

n(x)) azonosságok. Ha [c, d] (c < d) az [a, b] szakasz egy részszakasza, akkor pontjainak első iteráltjai is egy szakaszt alkotnak; jele**, [c, d]

t. A [c, d] szakasz n-edik iteráltján a [c, d]

n = /[c, d]

n_

1/

1 intervallumot értjük. Ha f{c) = c, akkor a c pontot az f(x) függvény elsőrendű fixpontjának nevezzük. Ha f

n(c) ^ c n = 1,2, . . ., r-1 esetén, de f

r(c) = c, akkor a c pont az f(x) függvény r-ed rendű fixpontja. Ekkor mint ismeretes a c

l

f c

2, . . c

r_

1

( c

r fixpontok egy r-edrendű ciklust alkotnak. Már vizsgáltuk azt a kérdést, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén nem lehet a fixpontok (ciklusok) rendszámára felső korlátot adni ([9]). Bebizonyítottuk: Ha az [a, b] szakaszban f(x) az 1., 2., 3 feltételeknek eleget tesz, és van két olyan diszjunkt részszakasz, amelyeket a függvény az egész zárt [a, b] szakaszra képez le, akkor van bármilyen magasrendű ciklus. Ennek a tételnek a feltételei csak elégségesek bármilyen adott rendű ciklus létezéséhez. Ezt igazolja már a [9] második tétele, továbbá az ennél egyszerűbb tételek a következő fejezetben. * Ezt a közvetett függvény folytonosságára vonatkozó tételekből teljes indukcióval egy sze r űen be bizonyít h at j uk. ** Nyilvánvaló, hogy [e, d], = [min f (x), max f (x)], ha c S x S d. 52* 835