Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához III. (A tetszőleges magasrendű ciklusokról)

2. Tetszőleges magasrendű ciklusokról 1. tétel. Legyen a c < d < b és f(x) az [a, b] szakaszban értelmezett olyan iterációs alapfüggvény amelyre f(c) = c, f(d) = b, továbbá van a [d, b] szakasznak olyan [p, q] = a részszakasza, amelyet f(x) az [a, b] szakaszra képez le. Ekkor bármely (természetes) n szám esetén van az f(x) függvénynek n-edrendű fixpontja. BIZONYÍTÁS. f(x) folytonossága következtében van a [c, d] szakaszban olyan e( ^ e) elsőrendű fixpont, amelytől jobbra f(x) > x, hacsak x ^ d; azaz f(x) az [e, d] szakaszban minden függvényértéket felvesz e és b között (1. ábra). A tétel állítása egyszerííen nyerhető, ha igaz az 1.1 segédtétel. A tétel föltevései mellett van bármely n szám esetén a a szakasznakn-edrendűinverz-interált szakasza az (a, d] szakaszban. Az így keletkező a.n sorozat elemei közös belső pontot nem tartalmazó szakaszok. 836