Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - H. Molnár Sándor: Másodrendű lineáris rekurzív sorozatok tagjainak szinuszairól

Legyen n N. Ha |q| = akkor legyen g

n = q, ha |q ^ —, akkor legyen 2 2 g

n = q, 1 - q, q vagy - 1 - q aszerint, hogy (3), (4), (3') vagy (5) igaz. A gó és g

n definíciója szerint n N-re G

nx = 2p

n + g

n' = 2p

n + g

n + r

n, (6) ahol |r

n! = |g

n' — g

n| < e és p

n (n = N, N+ 1, N+2, . . .) egész szám, továbbá r

n 0 han oo. Felhasználva a G

n+

2 —AG

n+

1 — BG„ = 0 azonosságot, azt kapjuk, hogy S

n = 2p

n+

2 + g

n+

2-A(2p

n+

1 + g

n+

1)-B(2p

n + g

n) = = G

n+

2x — r

n+

2 — A(G

n+

1x — r

n+

1) — B(G

nx — r

n) = = -(r

n+

2-Ar

n+

1-Br

n), (7) így S

n — 0 ha n — oo. De n N esetén S

n törtrésze csak véges sok értéket vehet fel — tekintve, hogy pi egész és gj-nek mindössze két értéke lehet — ezért Sn = o (8) ha n s= n

0 N. A (7)-ből és (8)-bol következik, hogy {2p

n + gn}

n^o {'n}n^o másodrendű linearis rekurzív sorozatok f(x) = x

2 —

Ax —B karakterisztikus polinommal, és így a Binet formula szerint 2p

n+gn = ^^-"o + b^

1

11

1» és r

n = a

2a

nn° + b

2/3

n_

n° minden n & n

0-ra teljesül. Mivel /?

n~

n° 0, ja

11-1

1"! oo (n ->°o) ezért az r

n 0 (n oo) csak úgy teljesülhet, ha a

2 = 0, így r

n = b

2/?

nn°. A (6)-ba behelyettesítve a sorozatok explicit értékeit (aa

n + b/5

u)x = a

1a

nn« + b

1j5

I

1no + b

2/8

nn® amiből /a\

11-11

0 í^j (axa

n° —aj) = -bx^o + ^ + ^ adódik. 828