Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1967. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 5.)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Perge Imre: Az analízis egyes fogalmai és módszerei a hasonlóságban

Bizonyítás: Tekintsünk két olyan hasonló ívet, amelynek hasonlósága egy adat alapján eldönthető. (Pl. körök, szabályos sokszögek stb.) Legyen az u adathoz tartozó ívhossz / (u), a v = X u adathoz tartozó ívhossz f (v). Mivel a két ívhossz hasonló, ezért a 6. tétel miatt f (v) = X f (u). Tekintettel arra, hogy az u-\-v=u-j-Xu=(l + i) u, ezért az eredeti alakzathoz hasonló f (u -}- v) ívhossz f(u + v) = (l+ X) f (u), ahonnan f (u + V) = f (u) + X f (u), vagyis az (6) f (u + v) = f (u) + f (v) Cauchy-féle függvényegyenlethez jutunk, amelynek megoldására itt egy egyszerű szemléletes bizonyítást adunk. Legyen f (x) egy, az origón áthaladó egyenes. Könnyen belátható, hogy az f(u + v) = f (u) + f (V) tekintettel arra, hogy ED = AB és FC = GD. Tehát az f (x) függvény kielégíti a Cauchy-féle függvényegyenletet és így annak megoldása, tekintettel az ívhossz pozitív voltára, f (x) = cx, illetve x = u-ra 354-