Állami főreáliskola, Debrecen, 1881

III. Végtelen szorzatok. Legyen : P„ = U

0 U, U

2 ü

3 Un-j oly n tényezőknek szorzata, melyek meghatározott értékkel birnak, és a mint a sorban a tagok számának végtelenül növekedése által a végtelen sor keletkezett, ugy egy n tényezőből álló szorzat, ha a tényezők száma a végtelenig nő, végtelen szorzattá válik. Ha mint mondatott, ezen szorzat véges értékkel bir, vizsgálódásunk tárgya nem lehet más első sorban, mint keresni azon feltételeket, melyek alatt a sor véges értékkel bir, azaz minő feltételek alatt összetartó. A felvett szorzat végtelen számú tagok szorzatából áll, melyet minden uj tényező belépése megváltoztat, hacsak a tényezők értéke mind jobban nem közeledik az egységhez. Hogy egy végtelen szorzat összetartó-é ? annak megtudására nem kell egyebet tenni, mint visszatekinteni azon törvényekre, melyek a sorok összetartására nézve mondattak. Legyen e a természetes logarithmusok alapszáma, akkor: u

0=e

l

uo u, =e

] ui u

2 = e

l

u* innen, ezen tagok szorzatát igy fejezhetjük ki: p = elU

0 + lU

1 + lU

2+.... Vizsgáljuk most 1U

0 +1 Uj -f 1U

2 -+- sort. Legyen a sor összege átalában m, akkor átalános kifejezése leend p-e

m egy meghatározott véges mennyiség. Ez esetben a sor összetartó. Ha a sor összege m = — oo akkor : P = e-°° = 0 a szorzat U

0 .Uj .U

2 .U

3 összetartó, és értéke = 0. Ha a sor összege =-(- oo, akkor : p _ e+ oo _ oo ezen esetben a végtelen szorzat U

0. Uj. U

2. U

3.... széttartó leend. Ezen meghatározások az összetartásra vonatkozólag még nem elegendők, annálfogva az összetartásra nézve még más törvényeket is hozunk le. As összetartás megállapítására czélszerü a sornak a következő alakot adni. P = (l+V

0)(i+V

1)(l+V

2) mert feltételezhetjük hogy : U

0 — 1-|-V

0; U

x — 1+V,. Ha a fentebbi sort tekintetbe veszszük, nyerjük : 1(1+V„)4-1(1+V

1) + 1(1+V

2+...Ezen sor összetartó azon feltétel alatt, hogy :