Állami főreáliskola, Debrecen, 1881

III. lin (lüo) = lira }l(l+V

D)j =0 vagyis lim (U

n) = lim (1+V„) = 1 mihelyt V

n = 0. a honnan következik, hogy a V-vel jelzett mennyiségek egy végtelen fogyó sort képeznek. Ha a V mennyiségek olyanok, melyek a nullhoz folytonosan közelednek, akkor a logarithmus sorát használva leend : l(l+V)=0-|V

2 + áV

3-iV

4 + .... = v —£V

a (1 —§V + |V

2 fVj + ....) innen : 10+V) = V-iV

a a ahol a-val a zárjelben levő sort jelöljük. Ha Y — 0, akkor a = \. Ha V a nullhoz közel álló értéket jelent, akkor a is csak igen keveset tér el az 1-től. És igy : 104-V

n) + ](1+V

n+

1) +1 (l+V

n+

2) +.. .= = V

n + V

n+

1 + V

n+

2+ • - i K W+ «, V

2

n

+,+• • •) Ezen kifejezésben ha n = oo akkor maga a kifejezés null leend, ha ezen sor : v

1+y,+v

8+.... feltétlenül összetartó. És ezen esetben a sor maradéka V. + V

n+

1 4-V

n+

2 +.... eltűnik. Hogy a kifejezés második resze : — ^ (a

0 -J-.. ..) is eltűnik szintén könnyen bebizonyítható. A 1. P tehát null leend, ha V, + V

2 -+-V

3+ sor összetartó; és igy a végtelen szorzatok összetartását illetőleg áll ez a tétel. Valamely végtelen szorzat összetartó, ha ezen két sor : V V V V »1 V

2 v

3 t

4 V2 V2 V2 ' ] v 2 V 3 V 4 egyidejűleg összetartó. Valamely végtelen szorzat összetartó még akkor is, ha ezen két sornak elseje összetartó, a második pedig széttartó, de végtelenül növekedő összege negativ. Valamely végtelen szorzat széttartó, ha ezen sorok elseje széttartó, és végtelenül növekedő összege positiv. A Sinus x és Cosinus x végtelen szorzatok által való kifejezése. Vegyük tekintetbe a függvények sorba fejtésénél a b alatt kifejtett II. számú képletet : Sin na = n Cos—

1 a Sin a — n(

n~~^

(

n~

2

) Cos"3 a Sin

3«+.... 1 • mi • /t Ezen képletbe irjunk a helyet x-et, akkor leend : Sin nx = n Cos" 1 x Sin x - ° (

o

n~

3

) Cos

23 x Sin

3 x + .... 1.2.3