Állami főreáliskola, Debrecen, 1880

6 A függvényekről és azok határáról. A változó mennyiségek vagy független vagy függő változó mennyiségeknek mondatnak, a szerint a mint bármi értéket vehetnek fel tetszőlegesen, vagy a szerint a mint értékök meghatározása a független változó változtatása által történik. Ha feltételezzük, hogy y oly mennyiségtani kifejezést jelent, melynek értéke attól függ, hogy egy benne előforduló független változó (x) minő értéket veszen fel, akkor y az x függvényének neveztetik, s jelöltetik igy: y = f(x). Ezen kifejezés tehát, — mivel x mint független változó, minden tetszőleges értéket felvehet a végtelen nagytól a végtelen kicsinyig, — nem határozott. Határozott csak akkor lesz, ha x valamely értékénél például a-nál megállapodunk, a mikor x = a levén, lesz a kifejezés : y

a=f(a). Az eredeti kifejezésben — láttuk — x értéke szabadon volt választható, tehát x független változó, — y azonban, mivel értéke x értékének meghatározásától függött, függő változó. Egy tetszőleges y = f(x) függvény, x-nek folytonos növesztése vagy fogyasztása által folyton növekcdhetik vagy fogyhat, a nélkül hogy végtelen nagy, vagy végtelen kicsiny lenne, ugyanis egy bizonyos határhoz mind jobban-jobban közeledik, minél nagyobb vagy kisebb lesz az x, például legyen adva: y=a+ — ha ezen függvényben x végtelenül növekedő mennyiség, akkor ~ mindig kisebb és kisebb lesz, minél nagyobbra növekszik az x, és y értéke mind jobban közeledik egy határhoz, mely határt x-nek végtelen nagygyá növekedése pillanatában el is ér, mert ez esetben v = a + _L oo y = a + 0. Az állandó mennyiséget, melylyel egyenlő lett y értéke határnak (limes) nevezzük és jelöljük igy : lim: (a+oo = a Ha a felvett y = a + -- függvényben x végtelenül fogyó menynyiség, akkor -L mindig nagyobb és nagyobb lesz, minél kisebbé