Kegyes tanítórendi Szent József katolikus gimnázium, Debrecen, 1891

8 algebrai, rationalis, elsőfokú egész függvényei, mindnyájuk szorzata tehát ugyanazon <p (x) =o egyenlet coefficienseniek algebrai, rationalis m-edfoku egész függvénye; hasonlóképen vizsgálván a resultánsnak a ®(x) —o egyenlet gyökeivel kifejezett alakját: E, b

0™ f(P.) f(P»). . . . f(H, találjuk, hogy R, az f(x) = o egyenlet coeífieienseinek algebrai, rationalis, n-edfoku egész függvénye; de láttuk azt is, hogy R, és R, csak jelben különböznek egymástól, tehát joggal felállíthatjuk a következő tételt, az egy ismeretlennel biró két algebrai egyenlet resultánsa ezen két egyenlet coéfficienseinek algebrai, rationalis egész és f(x) = o coefficienseiben n-ed-, ?(x) = oéiben m-edfoku függvénye. Ha valamely F algebrai, rationalis, egész függvény az n-edfoku ? függvény coefficienseiben m-edfoku, és az m-edfoku f függvényéiben n-edfoku és ha ezen F függvény egyenlő 0-lal, akkor F csak egy constans faktorban különbözik a felvett két egyenlet R resultánsától, u. i. vegyük az f (x) = o egyenletnek egy aj. coefficiensét; legyen F a;.ben, n-edfoku függvény, természetesen R is az a i.ben, mint azt fent láttuk; már most tegyük az R resultánst mint aj függvényét egyenlővé 0-lal s legyenek ezen R—o egyenlet gyökei a; (*), a; (

2), a; . . . a; (

n); ha a; egyenlő az R=o egyenlet gyökeinek egyikével, akkor R elenyészik, tehát a fölvett két egyenletnek van közös gyöke; mivel pedig F függvény a^ re nézve R természetével bir, következik, hogy F is o; tehát F--0 a; mindazon értékeire nézve, melyeknél R^ o, tehát F és R ugyazon fokú s igy csak ai független coéfficiensében térnek el egymástól. Ha a két egyenletben x helyett x+h tétetik, akkor ter mészetesen csökken a gyökök értéke h-val, de a két egyenlet gyökeinek különbségei csaknem változnak s igy, mivel P és Q ezen gyökkülönbségek függvényei, szintén megtartják eredeti értéküket; ebből tehát következik, hogy a resul-