Református főgimnázium, Debrecen, 1909
14 nem domborúak, mint a gömb, hanem homorúak; középpontjuk nem belől van, hanem kívül. A Riemann—Helmholtz-féle elmélet kiegészítéséül megjegyzem még, hogy ha a Gauss-féle görbületi mérték = zérussal, akkor az euklidesi-, ha pedig pozitív állandó, akkor a gömbgeometriát kapjuk. Vagyis az állandó pozitív görbületü felüietek geometriája a gömbgeometriával, az állandó negatív börbületű felületeké pedig a B.-féle geom.-val egyezik meg. Cayley a kettős viszonnyal állítja elő két pont távolát s 2 egyenes hajlásszögét, Ö ismét 3 féle rendszert talált: elliptikus, hiperbolikus és parabolikus rendszert. Klein Félix 1870-ben kimutatja, hogy ez a három rendszer, az előbbi sorrendben a Riemann (gömb), Bolyai, illetve Euklides-féle rendszernek felel meg. 1 Még arra a kérdésre feleljünk, ami szinte természetesen merül fel, hogy melyik rendszer hát az igazi. Már részben Bolyai János megfelelt erre a kérdésre a fentebb idézett levelében: mindenikfent állhat, melyek közül a valódit nem vagyunk képesek kiválasztani. Erre is Poincaré-val felelhetünk leghelyesebben. Szerinte e kérdés olyan, mintha azt kérdeznénk : a régi mértékrendszer-é a helyes, vagy az új ? Mindenik helyes, de a métsrrendszer legcélszerűbb, mert legegyszerűbb. Épen így mindenik geom. helyes, csakhogy az euklidesi a legcélszerűbb. Mert legegyszerűbb, a síkháromszögtan tételei pl. egyszerűbbek, mint a gömbháromszögé; és mert a természetben a szilárd testeken tapasztalt szabályszerűségekkel a legjobb összhangban van. Bolyait hazánkban sem ismerték, Bolyai Farkas panaszkodik levelében Gaussnak, 3 hogy „egy magyar nyelven megjelent mű az arithmetika és algebra elemeiről az akadémiától 200 dukátot kapott, habár a műnek semmi más érdeme nincs, minthogy Bécsben szépen 1 Beke Manó egyetemi előadásai után. L. még Schlesinger : Bolyai János. Math. Phys. Lapok. 1903 83—86. lap. Frischauf. Elemente d. Absolute Geom. 180. fejezettől végig. Ilyen irányú vizsgálatokkal foglalkozik az absolut geom.-ról legújabban megjelent magyar könyv. Privorszky Alajos : Az absolut geom. elemei. 2 S. m. 52. oldal. 8 G. B. levelezés 122. 1.
