Evangélikus gimnázium, Budapest, 1886

ál

azt mutatják, hogy a szorzandót a szorzóval fölcserélhetni. Inductiv líton ilyen formán azon gondolathoz jutunk, hogy ez bármely két egész positiv szám szorzatára áll és generalisálva a tételt akárhány tényezőre nézve érvényes. Mi azonban ez átalánosítás bizonyítéka ? Dirichlet «Vorlesungen über Zahlentheorie» művében következő az eljárás. Ha a, b, c számok szorzatáról van szó, úgy a következő

schemat alkothatjuk

c, c, c,

.........c •

(, C, c ............c

c, c, c,..........c

c, c, c,..........c

áll

jon ez b horizontális sorból, melyek mindenike a c számot a-szór tartalmazza. A szorzás fogalmából az következik, hogy minden egyes horizontális sorban foglalt számok összege c a s itt a hely különböztette meg a szorzót a szorzandótól. De b ily horizontalis sor van s így az összes számok összege (cd), b, s itt (ca) a szorzandó, b a szorzó. Ez összeget azonban más úton is meghatározhatjuk, csak arra kell gondolnunk, hogy a felső schema a verticalis sorból áll, melyek mindenike ot b-szer magában foglalja. Egy verticalis sor számainak összege tehát eb s így a végösszeg (eb), a. Első eredményünk ilyenformán

(ca) b — (eb) b

Ha nyert kifejezésünkben c= 1, úgy ab = ba

A föntebbi schema összegét még egy harmadik mód szerint is megállapíthatjuk t. i. összeszámláljuk, hányszor fordul elő c összeadandó. Egy horizontális sorban a ok száma a s mert b ilyen sor van, a fölirt számok sokasága (a.b) s így az összes számok összege c (ab); tehát

(ca) b — (eb) a = c (ab)

Az előbb kimutatott ab = ba tekintetbe vételével mondhatjuk:

Ha három positiv egész szám közül kettőt tetszőlegesen szorzattá alkotunk és ezt a harmadikkal megszorozzuk, lígy a származott szorzatnak mindig u. a. érteke van.