IV. kerületi községi felsőbb leányiskola és leánygimnázium és felsőkereskedelmi leányiskola, Budapest, 1913

Kapcsolástan. (Kombinatorika)

B) Kombinációk ismétlődő elemekkel.

Ezzel nem foglalkozunk.

Newton binómi tétele.

Newton binómi tétele a kéttagú mennyiségek pozitív egész számú hatványainak kifejtésével foglalkozik.

(a -j- b)n = (a -j- b). (a -f- b) (a b) . . . (on -j- b).

Fi szorzást így végezzük el:

(a -j- b)2 — (ab) (ab) — aa-{- ab b a-\- b b,

{a-\-bf = (aaJrab-\-ba-\-bb)(a-\-b) = aaaJraabJr-\-aba-\-abb-\-baa-\-bab-\-bba-\-bbbt

(a-\-b)i = (aaa-\-aabdraba-\-abb-\-baa-\-babJr-\-bba-\-bbb) (a-\-b) és így tovább.

Fi szorzást így hajtottuk végre: az első tényező tagjaival egymásután megszoroztuk a második tényező tagjait és a szorzatban a második tényező {a-\-b) tagjait az utolsó helyre írtuk. Hz eljárás ugyanaz, mint mikor felírjuk két adott elem (a,b) ismétléssel képezett variációcsoportjait. Látható tehát, hogy az {a-\-b)n kifejtése az a és b elemekből ismétléssel alakított n-c d osztályú variációk összege, hacsak az egyes csoportokat a bennük előforduló elemek szorzataként fogjuk föl.

Ha az egyes tagokban a szorzásokat végrehajtjuk, akkor bizonyos összevonások lehetségesek, mint pl. az (a-\-bf kifejtésében

(a -|- bf = a3 -f- a2 b -j- a2 b -f- a b2 -f- a2 b -J- a b2 -|- a b2 -f+ 63= a3 + 3a2 b + 3a b2 + b\

Tegyük fel, hogy az (a-\-b)n kifejtésében össze akarjuk vonni azokat a tagokat, amelyekben a &-szor, tehát b (n—k)~szór fordul elő, mint tényező. Ilyen tag annyi van, mint ahány permutációcsoport alakítható k számú a és (n—k) számú b elemből, vagyis

Pn (k,n — k) -- YTin^k)!^ (/*) = (a-- k) és így a szóbanforgó tagok összege

k!(n-k)!¥ Va9y 00 Va9y (» - k) at

28