VII. kerületi István-úti magy. kir. állami Szent István főgimnázium, Budapest, 1911
II. A számfogalom a középiskolában
26 0 oo 1 1 vannak ilyen alakú törtek : — , — = — : — • Az a meghatározás pedig, hogy a törtszám n egyenlő részekre ostzott egésznek bizonyos számát jelenti, sehogysem alkalmazható a határozatlan mennyiségekre, mert az egészet határozatlan számú részekre felosztani és egy-egy ilyen részt határozatlan számban venni, ennek nincs értelme. De ha azt mondjuk, hogy a törtszám két egész szám aránya, azért mindegyik mennyiség foglalhat magában határozatlan számú egységeket. Amint tudjuk, a differentiál-integrálszámítás kimutatia, hogy két határozatlan mennyiség aránya bizonyos feltételek mellett határozott mennyiség lehet. Az algebra. A relativ számokkal való műveletek alapját képező teljes számsor nem vesztette el ugyan absolut érvényét, de a nullát nem szükséges különös jelentőséggel felruházni. Helmholz1 a számlálásról így nyilatkozik: «A normális számsorban egy tetszésszerint választott számnál újra megjelölhetjük az egységgel kezdődő számsort». Ami a positiv számsorra áll, az a teljes számsorra is érvényes. Míg a szög 0° — 180°-ig nő, az alatt a cosinus +1 és —1 között minden értéket felvesz, többek között a nullát is. Ha pedig a mozgó szárát tovább forgatjuk, akkor 180° és 360° között (— 1)-tői (-f-l)-ig nő a cosinus értéke. De nem állíthatjuk, hogy ezek között cos ~ = 0 A kiváló jelentőségű, fontosabb mint más szög cosinusa csak azért, mert az ilyen szög szárai egymásra vertikálisak. Mert ha a cosinus változását az abscissák tengelyén 180°-tól számítjuk, akkor cos 240° = +|, holott a coordinaták kezdőpontjától számítva cos 240° = — §. Az is világos, hogy cos 270° egy egész egységgel nagyobb, mint cos 180°. Kronecker a negativ számokra vonatkozólag ezt írja:1 2 «A negativ számok fogalma elkerülhető, ha a képletekben (—1) helyébe valamely határozatlan mennyiséget, például #-et írunk és az egyenlőség jelét a Gauss-féle congruentia-jellel helyettesítjük. így alakul át 7-9= 3-5 a következő congruentiává 7 + 9#= 3+5# (mod. #+l). 1 Philosophische Schriften. Vili. köt. 24. 1. 2 U. o. 345. 1.
