Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1936
II tartják. Az egyközü vonalak tehát nem hajolnak össze, szöget nem alkotnak, kölcsönös távolságuk mindenütt ugyanakkora. Az egyközűségnek az imént adott értelmi meghatározásán kívül a fantáziának is van az egyközűségnek egy meghatározási módja. A fantázia szerint két egymást metsző egyenes, amelyek közül az egyiket nyugvónak, a másikat valamely pontja körül forgónak kell gondolonunk, akkor lesz egyközűvé, amikor közös metszőpontjuk a végtelen távolságba érkezik, jóllehet értelmi belátásunk szerint az összehajló egyenes vonalak metsződése a végtelen távolságban sem szűnhet meg. Az egyközűségnek fantáziabeli meghatározása már nem tisztán mértani meghatározás, mert benne a mozgás is szerepel, a mozgás pedig nem tárgya a mértannak. Az egyközűségnek mozgással történő meghatározását a nemeuklídeszi mértanok használják. Nemeuklideszí mértanok. — Euklidesz mértana az egyenes vonalon, mint alapon épült föl. Az egyenes vonal fogalmi meghatározását azonban az ókor tudósai nem adták, hanem azt a maguk természetszemléletük alapján mint tapasztalati valóságot fogadták el. Mai természetszemléletünkben azonban — amint fönt láttuk — az egyenes vonal meghatározhatatlan, tehát föl- tevéses fogalom. Mai természetszemléletünk alapján tehát azt kell mondanunk, hogy Euklidesz mértana hipotézisre, az egyenes vonal hipotézisére van fölépitve. Itt aztán az a kérdés merül föl: nem lehet-e olyan mértani szerkeszteni, amely nem hipotézisén, hanem mértani valóságokon nyugszik, mint aminö mértani valóságok például a kör és az aszimptota ? E kérdésre adott válaszban keletkeztek a nemeuklideszí mértanok. Bolyai János csakugyan az említett két mértani valóságra, a körre és az aszimptotára építette föl az ő nemeuklideszí mértanát. Mártanának alapja tehát mértani valóságok ugyan, de erre az alapra rakott mértani épülete már merőben föltevéses. Bolyai u. i. fölteszi, hogy a végtelen sugárú kört és ennek bármely ívét egyenes vonalnak lehet tekinteni. Fölteszi továbbá, hogy a körívből lett egyenes vonal haladó és forgó mozgást is végezhet, továbbá mozgása közben változó hosszúságot vehet föl: megrövidülhet, meghosszabbodhat. Míg tehát Euklidesz mártanának csak az alapja t. i. az egyenes vonala föltevéses, addig Bolyai mértanának az alapja mértani valóság ugyan, de erre az alapra fölépített mértana merőben a fantázia alkotása. Az egyenes vonalnak mozgásszerű meghatározáával és a hosszuság- egységül fölvett imaginárius egységnek, z'-nek fölhasználásával sikerült is Bolyai-пак az egyenes vonalat olyan képletbe öntenie, amelyből az z-nek kiküszöbölése után Euklidesz mértanának tételei állnak elő. Bolyai-пэк képzeleti mértana tehát általánosabb ugyan, mint Euklidesz tapasztalati mértana, miként a komplex számot is általánosabbnak szokás mondani mint a reálist és az imagináriust, jóllehet mértana távolról sem olyan szemléletes, mint aminő Euklideszé.
