Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 68 Legyen k eddigelé ismeretlen legnagyobb kitevője, mely congmentiánknak megfelel n+z, akkor x'^ =1 ((mod. &

n+

£)) s ha ezek közül azonban egyik sem lehetséges, mert ha szerint ((mod. k

n+

B~'

k)) következnék, s mivel n-fe—X nem lehet kisebb n-nél, nyilván: cc

q=l (mod. k

n) emelkedik érvényre, mivel előleges feltétünk szerint x a q

k^ kitevőhöz tartozik, g^nak a q

k 'többesének kellene lennie, mi csak ugy lehet, ha 1=0, ezt pedig egyszer mindenkorra kizártuk. Tehát £<X, mely feltét mellett 2) szerint, £C

qk

)"

_

E=l ((mod. k

n)) s mivel x a 5

k

>'-hoz tartozik, kell, hogy többese legyen a g

k

A-nak, mi csak akkor lehet, ha £=0 s ép ez igazolja állításunkat. Pl. (mod. 9) mellett 3 kitevőhöz 4 és 7 tartozik s valóban 43=64=1 é? 73=343=1 ((mod. 3

2)). Ha x kitevője osztója (k—l)-nek, de viszonylagos törzsszám /c-val, tételünk ugyan érvényes marad, de mégis lesznek kivételes esetek, melyekben érvénye megszűnik. Ilyen általános érvényű eset az 1, mely bármely tetszőleges modul mellett az 1 kitevőhöz tartozik; a második eset — l=(A;

n—1) (mod. /c

n), mely bármely tetszőleges modulra a 2 kitevőhöz tartozik; mert (—1)

2=1 (mod. k

n) s nyilván (—l)-nek azon legkisebb hatványa, melyre congruens az -t-l-el, a négyzet. Végre tegyük, hogy k=2, akkor <?=1 kell lenni; tehát föntebbi föltétünk A=0 is elveszti értelmét; de azonnal szembe szökő, hogy w>2 s állitásunk következő alakot ölt: Ha m >2 és x a2

A kite vőh ö z tartozik, (mod. 2

n) - r e mindig érvényes xs 1 ((m o d. 2")) congruentia. Ha pl. n—2, akkor a 3 csakugyan a 2 kitevőhöz tartozik, ugy (mod. 4) mint (mod. 8)-ra, de csak az utóbbi esetben lesz: 3

2= 1 ((mod. 23)). Ép igy 5

2=1 ((mod. 2

3)) és 7

2=1 ((mod. 2«)) hol 5 és 7 a 2 kitevőhöz tartoznak, megfelelöleg a 8 és 16 modulokra. Lehetséges még az az eset, hogy x a, q kitevőhöz tartozik, anélkül azonban, hogy k

n lenne ama legmagasabb hatvány, melyre mint modulra x

q—1=0 lenne. Legyen az a legnagyobb osztó Zf

n+

W, akkor x

q = 1 ((mod. &"+<»)). Beigazolhatjuk, hogy x a q kitevőhöz fog tartozni /c

n, k

n+

1, k

n+

2 .... k

n+

M modulok mellett is. Tegyük föl, hogy q osztója, melyhez mint kitevőhöz x ezen modulok egyike pl. &

n+

v mellett tartozik, x, akkor £C

X=1 (mod. /ín+v) s ebből 1) szerint cc

z=l (mod, k"). E szerint x, többese g-nak s feltétünk szerint osztója is g-nak, mi csak ugy lehet, ha x—q.