Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 69 4) H a a3

q

k = 1 ((m o d. k

n)), akkor x a qk'

k kitevőhöz tartozik (mod. k

n) mellett. Tegyük föl azon kitevő, melyhez x tartozik, v-k

0' s föltehetjük, hogy y.v.

t=q, w< 1, mert a qk

x kitevő többese lesz az emiitett kitevőnek. E feltét mellett 3) szerint x^"' ==1 ((mod. k

n)) kell lenni s ebből 1) szerint a!xí;X=1 ((mod. k

n+k—»>)) mit még x,-re hatványozva s azonnal helyettesítve q=xx

rt lesz : ce'i

,<

A=l (mod. w); hogye congruentia feltéti congruentiánkal ellenmondást ne szüljön, kell, hogy n=n+~k—w azaz X=w legyen, s ép ez bizonyítja tételünket. Tönkre teszi bizonyításunkat X=0 értékével. Hogy állításunknak ez esetben is érvényt szerezzünk, ne feledjük, hogy ha x kitevő az x'-=\ (mod. &

n) congruentiának megfelel, okvetlen érvényre lép £C*K=l (mod. /í

n+

1) congruentia is. Mert SE*=1 4- -Z4" s k-ra hatványozva x^—l=k

lXk

,

í+k

2X

2k

i

a+ + X

k4

k

n, s mivel ajobb oldal 4"+

1-el osztható, a baloldalnak is oszthatónak kell lennie. Legyen tehát xt=l ((mod. fe

n)), akkor 1) szerint xi

k= 1 ((mod. /í

n+

1)) tehát 3) szerint x-nek a qk kitevőhöz kell tartozni (mod. A

n+

1J mellett. Azt kell tehát még kimutatnunk, hogy (mod. k

n) mellett x a, q kitevőhöz tartozik. Ha nem tartozik a q-hoz, akkor okvetlen valamely x tényezőjéhez fog tartozni, tehát cc

x=l (mod. k

n) miből k-ra, hatványozva cc'

/

k = 1 (mod. fc»+») tehát xfe a gAr-nak többese, mi csak ugy lehet, mivel x tényező a 2-nak, ha ~/.=q. B) Eljutottunk feladatunk második részének megoldásához, t. i. a 9(K)—k

n (k—1) és tényezőihez tartozó számok meghatározásához. A megelőző 4) pont alapján a (4—1) tényezőihez tartozó számokból könnyűséggel meghatározhatók a<p(K)—k

n(k—1) tényezőihez tartozó számok. Sokkal rövidebb uton célhoz jutunk, ha előbb k

n egy primitiv gyökét keressük föl s ebből határozzuk meg a többi kitevőhöz tartozó számokat, mintha n—1 volna; sőt még itt is előnynyel találkozunk, ha k

2 primitiv gyökét határozzuk meg, mert minden többi erre vihető viszsza, következő alapon: A (mod. k

2) primitiv gyöke egyszersmind primitiv gyöke lesz (mod. k~) is s megfordítva a (mod. k") primitiv gyöke lesz a (mod. k

2) is. Legyen k

2 primitiv gyöke p, akkor a kitevő, melyhez tartozik p(4

2)=4(4—1), tehát 3) szerint ((mod. k

2)) congruentia érvényes, melyből 1) szerint p(k-i)4° ((mod. fe")) következik, vagyis p-nek a (mod. 4

n) szerint a k

n 1 (k—1) kitevőhöz kell tartozni, azaz 4

n-nek primitiv gyöke. Állításunk második részének beigazolása ép ily egyszerű. A