Dr. Kocsis Lénárd: A Pannonhalmi Főapátsági Szent Gellért Főiskola évkönyve az 1941/1942-I tanévre

Dr. Sárközy Pál: A körmérés

25. Az e transzcendens volta.

1 Találtuk mint alapképletet F(0) e

x = F(x) + U{x) (A) Az e transzcendens voltának bizonyítása indirekt módon történik. Kiindulunk abból a föltevésből, bogy az e algebrai szám, vagyis gyöke egy m-edrendü egyenletnek C

0 + C

xe + C

ze*+ ... + C

me™ = 0 (1) s itt az együtthatók egész számok, továbbá C

Q =j= 0, C

m 4= 0. Az (A)-ban x = 1, 2, ... m értékeket véve és összegezve kapjuk m m EC

yF(v) + %C

yU(v) = 0 (2) v=0 v=i s itt F(v) = f /

{lA

) és /(#) eleget tesz az /(0) = 0 feltételnek, egyébként az x tetszésszerinti egész függvénye. Bebizonyítjuk, hogy az f(x) alkalmas választása mellett a (2) egyenlőség lehetetlenségre vezet. Legyen p az m-nél nagyobb prímszám és ím - a^-"

1 {x—\)v{x—2)r . . • .(x — m)r> m (p — 1)! {ö

) Látható, hogy áll /(0) = 0 és f(x) fokszáma n — (m +1) p—*1. A (2) nem állhat fönn, ha kimutatjuk, hogy a p prímszám alkalmas választása mellett 1. 2]C

V F(v) nullától különböző egész szám és abszolút értéke nem kisebb I-nél, 2. a U(v) abszolút értékben kisebb 1-nél. 1. Az f(x) az x növekvő hatványai szerint rendezve f (x) = [^p-i^p1 + Á

p x* + . . . + A

n x

n j • • (4) s itt az együtthatók egész számok. Ap—\ = + (m !)

p s mivel p > m és p prímszám, tehát -4

p_i nem osztható /?-vel.