Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1914-1915-iki tanévre

A dyad-operator és alkalmazása az analytikus geometriára

legyen, ennek minden eleme párhuzamos tehát az i^-gyel és egvenlete w

=r+r <

2> Ezen sugársor azon sugara érinti az (1) görbét, melynek X paramétere mellett a (2)-ben lévő u az (l)-et kielégíti. Az ilyen X-ra áll Hi ^ u, + 2 b. u, + d + 2 X (b. u

v + d) -f X H = 0. (3) Ezen egyenlet a X-ban másodfokú. Általában tehát az (1) kúpszeletnek az «eggyel párhuzamos érintője kettő van. Ezen két érintő lehet valós és különböző, lehet két valós egybeeső és lehet két különböző conjugált complex érintő. Ha most az a

x irányt folytonosan változtatjuk és úgy vizsgáljuk a (3) egyenletet, akkor azt találjuk, hogy bizonyos irányokban két érintő húzható a kúpszelethez, más irányokban egy sem és ezen kétféle irány határhelyzetében két egybeeső érintő van. Ezen egybeeső érintők esetében a X-ra két egyenlő gyököt kapunk, tehát ekkor (&!. u

í + d)

2 — d (u

x <\> u

x + 2 b. u

x + d) = 0, vagyis u

x{b\ b — tf 4») u

x — 0. (4) A kúpszeleteket most aszerint osztályozhatjuk, van-e ilyen határérintője vagy nincs. Vagy a (4) alapján mondhatjuk, hogy a b ; b — d

Aj (5) dyad asymptotikus irányai szerint osztályozhatjuk a kúpszeleteket. Ha az (5) dyadnak két asymptotikus iránya van, akkor ezen két irány felosztja a síkot két mezőpárra. Ezen mezőpár két átellenesében vannak azon irányok, melyekkel párhuzamos érintők húzhatók, a másik pár sugaraival párhuzamos érintők nem vonhatók. A kúpszelet ekkor hyperbola. Ha az (5) dyad asymptotikus irányai egybeesnek, akkor minden irányban huzhatunk a kúpszelethez érintőket, de egyik irányban két egybeeső érintőt. Ezen kúpszelet a parabola. Ha pedig az (5)-nek nincs asymptotikus iránya, akkor minden irányban huzhatunk a kúpszelethez érintőt, de egyik irányban sincs két egybeeső érintő. A kúpszelet ekkor ellipsis. Összefoglalva ezen eredményeket, mondhatjuk, hogy a kúpszelet akkor lesz hyperbola, parabola vagy ellipsis, a mint (*>; à-d^m 0. (6)