Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1912-1913-iki tanévre

Sárközy Pál: A vector-számítás alkalmazása az infinitesimalis geometriára

Ebből tehát következik, hogy a cp (u, v) = const, vonal akkor asymptotikus vonal, ha V

2<? V

3? (12) és akkor görbületi vonal, ha [v

2? v

3? 1 = 0 (13) Ez utóbbi eredményt a (11) formából is megkaphattuk volna, mert a görbületi vonalak geodetikus torsiója eltűnik. A másodrendű y

4 differential-operator segítségével további kifejezéseket számíthatunk ki. Az u,v paraméter-vonalak esetében ugyanis = ^ V4* = ]gi • (14) Ezen értékek felhasználásával kapjuk m = D

3 V2

v V4 vi m" — V

2

v V4 n = — D

z y

2u V

4% n" = —

Iß y 2 « V

4 L = D

% n v

4 D

2 h y

4 ^ Az új paraméter-vonalak esetében tehát «i = A

3 v

2 + V4 <' = A

8 V

2 ^ V4 n

1 = —D

1* y

2<p v«<k <' = —

A

8 V2W4V, f (lő) A = A

2nV4^, N

x = D*n\J 4cp, ) ezen kifejezésekben Ezek alapján megállapíthatjuk a cp (w, v) = const, görbe geodetikus görbületét, továbbá annak feltételét, mikor jelent e görbe geodetikus görbét. Az M = const, vonalnál a geodetikus görbület a 33. pont (16) képlete alapján J^ = n [r'

v r

"

v] fh ' vagy az (1) és (14) szerint </i iy

2H

3 Analógia útján a cp = const, vonal geodetikus görbülete _!_ __ n[y

2cp y

4y

]

i Q™ 9i |y

2tó

3 Ha ezen értékbe helyettesítjük az előző pont (27) és (5) eredményeit, kapjuk a 35. pont (10) alatt már megkapott eredményt: JL = (

p r? — 2 p' tó tó + v" tó

2) tó ~ (<1 tó'

2" 2 <í tó tó + <t" tó

2) tó n gr [e^-zf^+g tó

2)

3/

2