Vízügyi Közlemények, 2001 (83. évfolyam)
2. füzet - Reimann József: Az árvizek tetőzésének és tartósságának valószínűség-számítása
242 Reimann József Az (53) feltételes várhatóérték függvény valójában a regressziós függvény a szó eredeti értelmében. A Bodrog árvizei esetében p=0,82>'G ;" ,[/ 7(jc)]=0,15x. Alkalmazva az (53) formulát a mediánnál л:-!=0,4252 m: 2 £(У|х1)=0,82 • 0,15x1+0,18 • 11,33=7,26 nap. (Megjegyezzük, hogyyI=7,85 nap, azaz a kvantilis görbe kissé fölötte van a feltételes várhatóérték függvénynek, de az eltérés nem lényeges.) Adott X=x túllépés esetén az Y tartósság várható értékét az (53) formulával is célszerű számolni. Az E(Y\X=x) feltételes várható érték maga is valószínűségi változó. Az У tartósság értékei szóródnak az (53) formulával megadott E(Y\X=x) feltételes várható érték körül. Ez a formula azt is mutatja, hogy p=l esetén a feltételes várhatóérték görbe, azaz a regressziós görbe megegyezik a kvantilis görbével, vagyis elég erős korreláció esetén a kvantilis görbe használható jó közelítésként. Kizámítjuk az У valószínűségi változó, a túllépés szórását adott X=x feltétel mellett. A feltételes szórásnégyzet definíciója: D 2( Y\X=x)=Ç\^-y{x)\4G(y\x) (54) о Sf/eft/es-integrál. Felhasználjuk, hogy az (52) formulából következik, hogy továbbá, mivel exponenciális eloszlással dolgozunk, y(x) regressziós görbét az y(x)=^x kvantilis görbével helyettesítjük, ezért 2g(y)dy• (55) D\Y]X=x)=f о Ebből felhasználva, hogy g(y)=ße~ß>' adódik: a »-Г £>2(У|ДГ=ХН1-Р) 2 2 a 2 2 — Г — TCLX+ ~ ГА ß 2 ß 2 ß 2 (56) A Bodrog sárospataki szelvényében a='/6i és Р = 1/п,зз, ezeket az értékeket behelyettesítve az (56) képletbe a mediánnál a szórásra 5,02 nap adódik. Ennek segítségével a feltételes várhatóértékre kapott 7,26 nap becsléshez előállíthatunk egy pl. 70%-os megbízhatósági intervallumot, amire (2,26; 12,26 nap) meglehetősen széles intervallum adódik. Ha az X túllépés értéke nagy, pl. az 1%-os kvantilist vesszük XQ,01=2,6054 m értéket, akkor az У tartósság feltételes szórása is elég nagy. A feltételes várható értékre 39 nap, a szórásra 16,32 nap adódik. Ebből egy 70%-os konfidencia intervallum (23; 55) nap.
