Vízügyi Közlemények, 2001 (83. évfolyam)
2. füzet - Reimann József: Az árvizek tetőzésének és tartósságának valószínűség-számítása
Árvízi tetözések és tartósságok valószínűségének számítása 241 közelíti a H(x,y) együttes eloszlásfüggvény értékét pozitív kapcsolat esetén. Abban az esetben, ha az (x,y) pont a kvantilis görbén van G(y)=F(x), és az eloszlásfüggvény értéke: H p(xy)=pF+(l-p)F 2=pGH\-p)G 2 (49) egyébként H (г V JpG00+(l-p№)Gto, ha F(x)>G(y) P v ^ [ pf(jt)+( l-p)F(jt)G(jc), ha F(x)<G(y)' ' Példaként kiszámítjuk a Hp(X,y) eloszlásfüggvény értékét az (B,yl) médián pontban a Bodrog Sárospataknál mért árvizeire, ahol p=0,82. Я Р(И,У1)=0,82 • 0,5+0,18 • 0,25=0,455. A 2. ábrán látható pontfelhő módot ad a H(x,y) ismeretlen kétváltozós eloszlásfüggvény empirikus becslésére, a H n(x,y)= k/ n relatív gyakoriság leszámlálásával. Kijelöljük az (xl,yl) pont által meghatározott kvadránst és leszámoljuk az (.X<xI) és ( Y<y^) esemény együttes bekövetkezésének relatív gyakoriságát. A 2. ábra alapján */„= 5 5/i2o =0,4583. Tehát а Я р(Л^,У-)=0,455 közelítő kétváltozós függvény és а Я„(Х1,у1)=0,4583 empirikus kétváltozós eloszlásfüggvények értékei közötti különbség Я„(^1,У1ЬЯ Р(11,У1)=0,4583-0,455=0,0033, vagyis az eltérés mindössze ezrelékes nagyságrendű. Ez az eredmény nem csak az (48) formula helytállóságát bizonyítja, hanem azt is, hogy érdemes a 2. ábrán látható pontfelhöt ábrázolni és a H n(x,y) kétváltozós empirikus eloszlásfüggvény értékeit a számunkra érdekes pontokban kiszámolni. Ezek alapján úgy tűnhet, hogy felesleges volt az elméleti eszmefuttatás az (48) és (50) formulák származtatására, elegendő a 2. ábra elkészítése és a relatív gyakoriságok leszámolása. A 2. ábra elkészítése és a számlálás lehet az első lépés a kétváltozós eloszlás vizsgálatában, de a (48) formula származtatása nagy haszonnal jár. Ezen formula alapján ki tudjuk számolni az Y tartósság feltételes eloszlásfüggvényét, adott X=x túllépés, mint feltétel mellett. Az К valószínűségi változó feltételes eloszlásfüggvénye az X=x feltétel mellett: Az (48) összefüggés alapján, figyelembe véve az (50) kifejezést 1 (l-p)G(>>), ha F(x)>G(y)' (52 ) Az Y valószínüégi változó feltételes várható értéke azX=X feltétel mellett E( Y\x)=y(x)=fydG(y\x)=( \-p)Çyg(y)dy+py=(\-pm Ю+рС 1 [FW] (53)
