Vízügyi Közlemények, 2001 (83. évfolyam)
2. füzet - Reimann József: Az árvizek tetőzésének és tartósságának valószínűség-számítása
Árvízi tetözések és tartósságok valószínűségének számítása 227 eloszlásfüggvény jól illeszkedik az (1) eloszlásfüggvényhez valamely a=[£'(x)]" 1 esetén (Reimann 1989). Amikor az Aj, Хг, ...,X n mintából képeztük pl. az 4. ábrán látható gyakorisági hisztogrammot, akkor csak a c-szintet meghaladó túllépéseket tartalmazó évek adatait használtuk fel. Ha az árvizek visszatérési idejét akaijuk becsülni, akkor figyelembe kell venni azokat az éveket is, amikor nem volt árvíz, azaz a vízállás hidrográíja nem lépte túl a c-szintet. (Pl. a Bodrog esetében Sárospataknál a 100 év közül 36 ilyen volt.) Az (1) eloszlásfüggvény lényegében feltételes eloszlásfüggvény, az X túllépés eloszlásfüggvénye azon feltétel mellett, hogy volt túllépés. Ezért a (1) formula valójában r(x)=P(X<jc\v>0)=\-e-^ (8) alakba írandó, ahol v jelenti az év során a c-szint túllépéseinek számát. Jelöljük Л-val az {X>x\ eseményt, továbbá legyen ő={v=0}, #=(v>0). Kiindulva a Р(А)=Р(А\В)Р(ВугР(А\Ъ)Р(Ъ) (9) ismert valószínűségi összefüggésből kapjuk, hogy P(X<x)=-P(X<x I v =0 )P( v =0 )+P(X<x I v >0 )P( v>0 ). ( 10) Amennyiben a túllépések v száma X, paraméterű Po/sso/i-eloszlást követ, akkor P(v=0)e~ l és P(v=0)\-e~ x továbbá P(X<x|v=0)=l (hax>c). Ezek alapján F(x)=P(X<jc)=e-'M 1 -éT 0"^ l-e"*)= l-e^i 1 (11) Látható, hogy F(x)>f(x), azaz annak a valószínűsége, hogy X<X növekszik, ha azokat az éveket is számítjuk, amikor nem volt árvíz. A (10) formula alapján P(X>x 0)= 1 -e0"^ 1 . (12) Ez tehát annak a valószínűsége, hogy az X túllépés valamely évben meghaladja az X 0 szintet. Használjuk a következő jelöléseket: J={X>x 0\, р=Р(Я)=е~ а хо(1-ек),д= 1 -p= I-éT"^ l-e*). Annak valószínűsége, hogy az ~A esemény mostantól számítva először a £-adik évben következik be: P(T xJ=q k^p (k= 1,2,...) (13) geometriai eloszlás, amelynek várható értéke: 1 1 e^o E(T )=-= г=—( 14) Ha meg akarjuk határozni azt az X 0 szintet, amelynek átlagos visszatérési ideje 100 év, akkor az £-3-=100 (15) egyenletet kell megoldani, amelynek megoldása: lnl00+ln(l-e" x) x 0= z. (16)
