Vízügyi Közlemények, 1985 (67. évfolyam)
4. füzet - Somlyódy László-Licskó István-Fehér János-Csányi Béla: A Sajó kadmiumszennyezettségének modellezése
A Sajó kadmiumszennyezellséyének modellezése 545 A (22) egyenlet az L operátorral a = exp (LAty = exp [(L^A-LJAty = = exp (L 2At) exp (L xAty = exp (L 2At)c* (24) alakot vesz fel. Ebből következik, hogy a megoldás két lépésre választható szét, először megoldjuk a konvektív feladatot, majd ennek c* eredményét felhasználva a diffúziós problémát. A módszer stabilis, ha mindkét lépés külön-külön az. Ebben rejlik az előnye, hiszen nem adódik a két eltérő jellegű hatás egyidejű figyelembevételéből származó stabilitási kritérium, amely rendkívül kicsi At időköz (10— 100 s) választását tenné szükségessé. A következőkben tekintsük először a dc — + ót J + t/f =0 dx öt dx konvektív egyenlet megoldását. Egyszerűen kimutatható, hogy a diszkretizálás eredményeként az előbbi helyett a dt dx egyenletet oldjuk meg, ahol R = D nu md zc/dx 2 és Z) nu m = f(U, Ax, At). Azaz a megoldás numerikus okok miatt erősen torzított lesz, mégpedig olyan jelleggel, mintha diszperzió is jelen lenne. A D nu m numerikus diszperziós tényező értéke meghaladhatja a ténylegeset, tehát célszerű a szerepét csökkenteni, vagy éppen megszüntetni. Ez a Lax-Wendroff séma alkalmazásával érhető el. Ennek lényege az, hogy az exp(LAt) tag sorbafejtésénél - (Verboom 1973) (24) egyenlet - több tagot veszünk figyelembe c> + 1 = (^\+AtLi+ ^At 2 • L^ • <*, (25) és ekkor а д/дх operátor három pontból történő közelítése mellett a konvektív egyenlet megoldása a a 2\ ,, N , I a a 2 cf=cí1[- + jJ +cí(l-a 2)+c{ + 1{ - -+ - ) (26) Itt a = v xAt/Ax, és a megoldás stabil, ha a< 1. A közelítés foka most О (At, Ax 2). A megoldás a numerikus diszperziós tényező eltűnése ellenére is az ún. amplitúdó- és fázishibák által terhelt. Ezek akkor a legkisebbek, ha a= 1. Az említett hibák többlépéses sémák alkalmazásával csökkenthetők tovább (Verboom-Vreugdenhil 1975, Holly 1975), esetünkben azonban erre nincs szükség. Második lépésben a tiszta diffúziós egyenletet oldjuk meg explicit módszerrel, három pont bevonásával. Ez az ismert c/ + 1 = bcf-. ! 4- (1 - 2b)c*+ bc*+ ! (27) alakban írható, és egyúttal (27) adja a teljes feladat megoldását is. Itt b = D LAt/Ax 2, és a módszer stabilis, ha b< 1/2.
