Vízügyi Közlemények, 1985 (67. évfolyam)
2. füzet - Mekis Éva-Szöllősi-Nagy András: Determinisztikus, sztochasztikus és egyesített determinisztikus-sztochasztikus rekurzív hidrológiai előrejelző modellek összehasonlító vizsgálata
224 Mekis E. és Szöllösi-Nagy A. 2. Sztochasztikus leírás: Autoregresszív mozgó átlag modell (ARMAX) Mint már az irodalmi áttekintésben is említettük, a rekurzív real-time előrejelző algoritmusok első alkalmazásaikor a bemenet/kimenet idősorok „fekete doboz" modellezését alkalmazták. Hinu (1974) az egységárhullám ordinátáit határozta meg Kalman-szürővel próbálgatásos alapon felvett zajkovarianciák mellett; Szöllősi-Nagy (1975) ugyanezt a feladatot a zajkovarianciák adaptív becslésével oldotta meg. Minekutána az egységárhullám ordinátái elvileg végtelen számúak, de a gyakorlatban általában számosak, és e szám meghatározása az adekvát diszkretizálási séma híján igen szubjektív - a feladat nagy dimenziójú állapotvektorok szűréséhez vezetett. Ezért fordult a hetvenes évek végén a figyelem az ARMAX típusú sztochasztikus differenciaegyenletek (X a külső, exogén változóra utal) felé, amelyek véges számú bemenet/kimenet értékkel számolnak, s ahol - Box és Jenkins (1970) terminológiájával élve - a parzimónia [a definíciót lásd (i. m.)] miatt a változók száma általában alacsony, amivel elkerülhető a nagy dimenziós szűrési feladatoknál jelentkező számítástechnikai probléma. A tisztán sztochasztikus ARMAX modell felteszi, hogy a bemeneti/kimeneti változók között az alábbi lineáris differenciaegyenlet teremt kapcsolatot: У, = a U ty ll + a 2j t-2 + ... + a n. ty ln+b U tu,l + b 2 Au t2+ ... + b m,v,m+v„ (9) ahol y és и- a kimeneti, ill. bemeneti vízhozamok; nésm- azon múltbeli adatok száma, amelyek a t időpontbeli kimenet értékére hatással vannak; v - GFZ sorozat, zérus várható értékkel és adott szórással; a ( és b t - az ismeretlen ARMAX együtthatók. Az ismeretlen paraméterekből definiáljuk a következő vektort: ©< = [ai, ta 2,,...a n Jb ub 2i t...b m,,] T, (10) valamint a múltbeli adatokból a H, = \y,-i,y,-2, •••./t-n. "l-l. "(-2. •••. "i-J (И) N = n + m dimenziós adatvektort. Ezzel a két vektorral a (9) ARMAX modell a következő alakban írható: y, = H,0,+ u„ (12) ami nem más, mint egy olyan diszkrét dinamikus rendszer kimeneti egyenlete, melynek állapotvektora éppen 0,. Az ARMAX paraméterek időben változhatnak, vagyis egy idővariáns rendszert definiálnak, időbeli változásukról azonban a priori nem tudható semmi, ezért tette fel Szöllősi-Nagy, Todini és Wood (1977), hogy változásuk a véletlen bolyongás 0, = ©,_!+», (13) modelljét követi, ahol w - a paraméterváltozások bizonytalanságát jellemző GFZ sorozat. Látható, hogy (13) az általános lineáris sztochasztikus állapotegyenlet különleges esete, amikor is Ф, = I és Г, = 0. Az ismeretlen paramétervektor - ami most az állapotvektor szerepét játssza - rekurzív becslése a diszkrét lineáris Kalman-szürővel valósítható meg, ami ebben a speciális esetben a következő alakot ölti: 0, ,,_, = ©, _,„_,. (14) P,,,_ y = P,/ U _, + Q (15)
