Vízügyi Közlemények, 1984 (66. évfolyam)

4. füzet - Kontur István: A negatív binomiális eloszlás paraméterbecslése és alkalmazása az előrejelzésben

A negatí

v binomiális eloszlás paraméterbecslése és alkalmazása az előrejelzésben 545 ahol tekintetbe vettük, hogy S\, i = 1 egységnyi, továbbá azt is, hogy j = — 1, — 2, ... és i = — 1, —2,... stb. nincs értelmezve, illetve ha van Síj ebben az esetben is nulla. Az n tározóból kifolyó víztérfogatok időbeli változását úgy kapjuk, hogy alkalmazzuk a (6) lineáris tározási képletet: Л. = q S,

n = </(^1^(1 -ífV

1, (8

) y

i

n = 0, ha i<n. A (8) összefüggés az n tározóból álló kaszkád kifolyási idősorát adja meg, ha az első tározóban, az első időlépésben egységnyi tározott vízmennyiség volt. Látható, hogy a (4) és a (8) összefüggés teljesen megegyezik, figyelembe véve а к = i-n helyettesítést. Vagyis a diszkrét idejű diszkrét kaszkád impulzus válaszfüggvénye egy negatív binomiális eloszlás elemeit adja meg és viszont. A (7b), illetve a (8) végeredményt úgy is megkaphattuk volna, ha a kaszkádok állapotegyenletét írjuk fel és a Töplitz típusú együttható mátrixot hatványozzuk. A (4), illetve a (8) összefüggés a gyakorlatban egyszerűen számolható n és q ismeretében, csupán az ( 1 — q) érték hatványát kell venni és az ^ — binomiális együtthatókat, amelyek a Pascal-féle háromszögből, mint annak az (n- 1) oszlopa kapható meg. Az n és q értékek a momentumok alapján számolható. 2. A paraméterbecslés módja A negatív binomiális eloszlás két momentuma A/(£) és ű

2(0 az (5) képlet szerint az n és q paraméterek meghatározására elegendőek. Jelöljük az egységárhullám időbeli várható értékét /-sal és szórását <r,-vel, akkor Лt • Л/(£) = Tés At • D(Ç) = ст,. Mivel az (5) képlet a At időegységek felvételével kapott számértékben adja meg M(Ç) és D(Ç) értékét. így a várható érték és a szórás az n és q számokkal kifejezve: - n . |/n( 1 — q) t = -Atés a, = At. (9) q ч Láthatjuk, hogy n és q is mértékegység nélküli, hiszen t és a, is idő dimenziójú, míg At is az. A (9) képletekből egyszerű számolással kifejezhető q és n értéke: q = —

Цf (10) At és « = ''—r, (11) t ahol C

v - a variációs tényező szintén dimenzió nélküli szám, a szórás és a várható érték hányadosa: C„ = ojt.