Vízügyi Közlemények, 1984 (66. évfolyam)

4. füzet - Kontur István: A negatív binomiális eloszlás paraméterbecslése és alkalmazása az előrejelzésben

546 Kontur István A fenti összefüggésekből q és n értéke számolható, de éppen a (11) képlet szerint n-re nem egész számot kapunk eredményül, ami a számítás során nehézséget jelent és bizonyos vonatkozásban az eredeti elméleti megfontolásoknak is ellentmond. Ezért a következőkben úgy állítjuk össze a képleteket (9) alapján, hogy t, a, és n ismeretét tételezzük fel. így q-ra q=\-C

2

vn (12) képletet kapjuk, ami a negatív binomiális eloszlás variációs tényezője, C

v = ^(1 - q)jn alapján is belátható. A fölveendő időlépcső: At = t(\-Cl\. (13) A fenti képletek alapján bizonyos elemzést végezhetünk. Az egyik kikötésünk az lehet, hogy n> 1 legyen és, hogy 0<q<\ közötti szám legyen, amely utóbbi a ^-nak valószínűségi értelmezését lehetővé teszi, a ( 11 ) képlet szerint n > 1, ha к + C

v < 1 (ahol лг-val a At/t viszonyt jelöltük). Tehát к < 1 — С

2, vagyis At < (1 - Cl) t. Ez azt jelenti, hogy At-re felső korlát adható. A (10) képlet szerint q 1-nél nagyobbá válik, ha a nevező egynél kisebb, ez csak akkor lenne lehetséges, ha í, vagy At negatív szám. Mindkettő fizikailag kizárt. Ugyanúgy, ha megnézzük a (12), (13) képletpárt látható, hogy <7 >0 feltétel akkor teljesül, ha Cl n < 1, vagyis n < -^r kell, hogy legyen, ez n-re vonatkozóan a felső korlát. C

v Mivel negatív binomiális eloszlás esetén C

v < 1, így n = 1 azaz alsó korlát minden esetben. А к érték így mindig 0<к:< 1, tehát zlí-nek is mindig kisebbnek kell lennie í-nál. Végeredményben tehát megállapíthatjuk, hogy helyes modellezéshez Г, a, és At felvétele során akkor jutunk, ha 0<At<(\-Cl)t (14) és F, a, és n felvétele esetén akkor jutunk, ha 1 <«<-L (15) korlátok között tartjuk Г és a, mellett használt harmadik paramétert A t-t, illetve n-e t. Végül megjegyezzük, hogy az alsó határok átlépése kölcsönösen negatív At-t és negatív n-et jelent, amelynek értelmezése csak igen elvontan értékelhető. A fenti képleteknek megfelelően az I. ábrán q értékének meghatározását mutatjuk C„ alapján, ahol a paraméter а /с, illetve az n érték. 1. ábra. A q értékének meghatározása Рис. 1. Определение значения q Fig. 1. Determination of the value of q Bild 1. Ermittlung des Wertes von q