Vízügyi Közlemények, 1984 (66. évfolyam)

3. füzet - Rövidebb tanulmányok, közlemények, beszámolók

Hozzászólás Kovács György: Az árvizek. . . 499 Kiindulva a P(A) = P[A(B+B)] = P(AB)+P(AB) = P(A \ B)P(B)+P(A \ Ë)P(B) (19) azonosságból P(X<x) = H(x) = P(X<

x I v = 0)P(v=0)+P(Ä'<x| v>0)P(v>0) (20) Amennyiben a túllépések v száma Xt paraméterű Poisson-eloszlást követ, akkor P(v = 0) = e~

Á', P(v>0) = 1 -е~

я', továbbá P(X<x I v=0) = 1 (ha x>c) ekkor H(x) = P(X< x) = ед'+(1-е-^(1-е"

я') = 1-е^(1-е"

я0. (21) Látható, hogy H(x)>H*(x) = \-e'

ß

x, valamint #(0) = е

_

я' = P(v = 0), továbbá tf(oo)=l. (22) Ha most Z-vei jelöljük a [0, 7] intervallumban észlelt legnagyobb túllépést, akkor Z feltételes eloszlásfüggvénye azon feltétel mellett, hogy van túllépés, a (17) összefüggésben található. A Z maximális túllépés feltétel nélküli eloszlásfüggvénye (megengedve tehát a 0 maximális túllépést is) a (20) összefüggés analógiájára: F,(x) = P(Z< x) = P{Z<x\ у=0)Ду=0)+Дг<х| v>0)^v>0). (24) Mivel P(Z<x |v = 0)=l (ha JC>C), P(v=0) = e~*', P(v>0) = 1 — е~

я' F,(x) = e~

x'+ ^—(1 -е"

я0 = ex,

e'

ß

x, (25) 1-е м ami megegyezik Zelenhasic (1970) eredményével. A (22) és (25) formulák összehasonlítása mutatja, hogy H(0) = F,(0), ami természetes eredmény, hiszen ha nincs túllépés, nincs maximális túllépés sem. Éppen ez mutatja, hogy a túllépés nagyságának valódi eloszlásfüggvénye a (21) összefüggéssel kifejezett H(x) eloszlásfüggvény. Ha a túllépés nagyságának eloszlásfüggvényeként (feltétel nélküli eloszlásfüggvényeként) a H*(x) = \-e~

ß

x függvényt tekintenénk, akkor Я*(0) = 0<F,(0) ^ e~

X

l, ami azt jelentené, hogy a maximális túllépés nagyobb valószínűséggel kisebb mint 0, mint egy tetszőleges túllépés, ami nyilván ellentmondás. Mindezeket azért bocsátottuk előre, mert a túllépések visszatérési idejének vizsgálatához a (21 ), ill. (25) összefüggések szolgálhatnak alapul. A túllépések visszatérési idejének valószínűségeloszlását, illetve az átlagos visszatérési időt valamilyen időegységben, általában években, számoljuk. Tételezzük fel, hogy a Z évi maximális túllépés eloszlásfüggvénye F(x). Válasszunk egy x

0 = x— c>0 szintet és számítsuk ki annak valószínűségét, hogy a maximális túllépés az ,v

0 szintet először к év múlva haladja meg. Ekkor P(Z<x

0) = q = F(x

0), P(Z>x

0) = p = 1 — F(x

0). Most tehát minden évben egyszerű alternatívát vizsgálunk, ezért geometriai eloszlással állunk