Vízügyi Közlemények, 1984 (66. évfolyam)

3. füzet - Rövidebb tanulmányok, közlemények, beszámolók

Hozzászólás Kovács György: Az árvizek. . . 497 На X elég nagy ahhoz, hogy -—- már elhanyagolható (vagyis akkor elég magas a с szint), akkor innen kezdve az eloszlás nyúlványa exponenciális. (Ha p = 1, akkor természetesen exponenciális eloszlásról van szó, hiszen az exponenciális eloszlás speciális esete a (ß, p) paraméterű gammaeloszlásnak p = 1 paraméter mellett, amint az ismeretes, de a (12) formulából is közvetlenül látható.) Ha ismerjük az X túllépés F(x) eloszlását valamely [0, t) intervallumra vonatkozólag, akkor az ebben az időszakban észlelt legnagyobb túllépés eloszlását a rendezett minták elmélete alapján határozzuk meg (Todorovic-Zelenhasic 1970). A [0, t) intervallumban bekövetkező túllépések száma legyen v, ahol most v - a minta elemszám - maga is valószínűségi változó. Jelöljük Z-vel a [0,/) intervallumban észlelt legnagyobb túllépést, ekkor a v = k feltétel mellett P(Z<x \ v = k) = [Л»]\ (13) (mivel a legnagyobb túllépés akkor kisebb egy adott x értéknél, ha mindegyik mintaelem kisebb, továbbá a mintaelemek függetlenek). Jelöljük F,(x)-szel a Z legnagyobb túllépés feltétel nélküli eloszlásfüggvényét, ekkor a teljes valószínűség tétele alapján: F,(x) = £ №)№=*) = Д

У

=0)+ £ (14) t=o *=i Amennyiben F(x) = 1 exponenciális eloszlású, v pedig Poisson-eloszlású [0, f)-ben (.Zelenhasic 1970): P(v = k) = Цт*еЯ', akkor k\ F,(x) - £ (l-e-^^e-^ = e~

h £ [i?

0 = (15) n = o k. k = 0 k\ Látható, hogy /

г,(0) = е~

я', F,(co)= 1, ahol F,(0)= P(v = 0) = e~

x' annak valószínűsége, hogy nincs túllépés а с szint felett, hiszen a legnagyobb túllépés csak akkor kisebb mint 0, ha egyáltalán nincs túllépés. Mivel valamely [0, t) időintervallumra vonatkozólag - ha ismerjük a túllépések számának valószínűségeloszlását - akkor egyben tudjuk annak valószínűségét, hogy nincs túllépés, ezért vizsgáltam a legnagyobb túllépés valószínűségeloszlását azon feltétel mellett, hogy van túllépés az illető intervallumban (

Reimann 1975): £ [F{x)]

kP(v=k) F, (x) = P(Z<x\v>0) = — . ,

w 1 — P(v = 0) Ha F(x) exponenciális eloszlás: F(x) = 1 továbbá ha v (a túllépések száma) Poisson-eloszlású, akkor